2004-天津文-17 解-和角与倍角求值

本题导读

本题考查和角公式与倍角公式。核心在于由和角正切解出 $\tan \alpha$，再用万能公式求值。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 已知 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1}{2}$.

(1) 求 $\tan \alpha$ 的值；

(2) 求 $\frac{\sin 2\alpha -{\cos }^2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 和角公式 $\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=\frac{1}{2}$。
2. 解得 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$。
3. 用万能公式求 $\sin 2\alpha ,{\cos }^2\alpha ,\cos 2\alpha$ 代入。

✅【答案】

Success

(1) $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$

(2) $-\frac{5}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）令 $t=\tan \alpha$，由正切的和角公式 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1+t}{1-t}=\frac{1}{2}$，得 $2+2t=1-t$，故 $\tan \alpha =t=-\frac{1}{3}$. （2）由 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$，用万能公式得 $\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{-2/3}{1+1/9}=-\frac{3}{5}$，${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{1+1/9}=\frac{9}{10}$，$\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1-1/9}{1+1/9}=\frac{4}{5}$.故 $1+\cos 2\alpha =\frac{9}{5}\ne 0$，原式 $=\frac{-\frac{3}{5}-\frac{9}{10}}{\frac{9}{5}}=\frac{-\frac{15}{10}}{\frac{9}{5}}=-\frac{5}{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：和角与倍角求值
2. 核心方法：（1）$\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=\frac{1}{2}$，$2+2\tan \alpha =1-\tan \alpha$，$\tan \alpha =-\frac{1}{3}$；（2）用万能公式代入得 $-\frac{5}{6}$
3. 避坑指南：和角公式解 $\tan \alpha$；再用 $\sin 2\alpha ,{\cos }^2\alpha ,\cos 2\alpha$ 的万能公式代入分式

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于和角与倍角公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：由 $\tan (\frac{\pi }{4}+\alpha )$ 解 $\tan \alpha$，再用万能公式求值；和角公式展开解 $\tan \alpha$，万能公式统一化切

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.04 三角平方差公式

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV文-17 解-和角与二倍角求值
• 2011-江苏卷-07 填-正切和角与二倍角
• 2010-四川卷文-19 解-和角公式推导求值