2004-全国卷IV文-14 填-三角函数周期定参

本题导读

本题考查三角函数的周期公式，以及由周期反求参数。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 已知函数 $y=\frac{1}{2}\sin \frac{x+\pi }{A}$（$A>0$）的最小正周期为 $3\pi$，则 $A=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 自变量系数为 $\frac{1}{A}$。
2. $T=\frac{2\pi }{1/A}=2\pi A=3\pi$。
3. $A=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=\frac{1}{2}\sin \frac{x+\pi }{A}$ 的自变量系数为 $\frac{1}{A}$，故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{1/A}=2\pi A$.由 $2\pi A=3\pi$ 且 $A>0$，得 $A=\frac{3}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数周期定参
2. 核心方法：$y=\frac{1}{2}\sin \frac{x+\pi }{A}$ 的系数是 $\frac{1}{A}$，周期 $T=\frac{2\pi }{1/A}=2\pi A=3\pi$，$A=\frac{3}{2}$
3. 避坑指南：$\sin \left(\frac{x+\pi }{A}\right)$ 的自变量系数是 $\frac{1}{A}$；$T=2\pi A=3\pi$ 得 $A=\frac{3}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角函数的周期，教材”三角函数的图象与性质”
2. 结论推广: 一般化：$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 反解 $\omega$，注意 $\omega =\frac{1}{A}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-11 单-四次齐次三角周期
• 2005-上海卷文-05 填-三角函数周期
• 2006-山东文-18 解-三角降幂周期求和