2004-全国卷IV文-11 单-球心到截面距离

本题导读

本题考查球的截面，以及球心到截面平面的距离。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 已知球的表面积为 $20\pi$，球面上有 $A$、$B$、$C$ 三点.如果 $AB=AC=2$，$BC=2\sqrt{3}$，则球心到平面 $ABC$ 的距离为()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $4\pi R^2=20\pi$，$R=\sqrt{5}$。
2. 求 $△ABC$ 外接圆半径 $r=\frac{abc}{4S}$。
3. 距离 $d=\sqrt{R^2-r^2}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由球的表面积 $4\pi R^2=20\pi$ 得 $R=\sqrt{5}$.$△ABC$ 中 $BC=2\sqrt{3}$ 边上的高为 $\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=1$，面积 $S=\sqrt{3}$，外接圆半径 $r=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S}=\frac{2\times 2\times 2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=2$.设球心到平面 $ABC$ 的距离为 $d$，则 $d^2+r^2=R^2$，$d=\sqrt{5-4}=1$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球心到截面距离
2. 核心方法：$4\pi R^2=20\pi \Rightarrow R=\sqrt{5}$；$△ABC$ 中 $BC=2\sqrt{3}$ 边上的高 $1$，面积 $\sqrt{3}$，外接圆半径 $\frac{abc}{4S}=2$；$d=\sqrt{R^2-2^2}=1$
3. 避坑指南：先由表面积定 $R=\sqrt{5}$；外接圆半径用 $r=\frac{abc}{4S}$，再 $d^2+r^2=R^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于球的截面，教材”空间几何体”
2. 结论推广: 一般化：球心到截面距离 $d=\sqrt{R^2-r^2}$，$r$ 为截面圆半径（三角形外接圆半径）；截面圆半径是三角形外接圆半径，用 $r=\frac{abc}{4S}$ 求

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-10 单-球心到截面距离
• 2007-陕西文-07 单-球截面外接圆距离
• 2012-四川卷文-10 单-球面距离与截面