2004-全国卷IV文-09 单-分组分配计数

本题导读

本题考查分组分配问题，以及计数原理的应用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 从 $5$ 位男教师和 $4$ 位女教师中选出 $3$ 位教师，派到 $3$ 个班担任班主任（每班 $1$ 位班主任），要求这 $3$ 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有()

A. $210$ 种　　　　B. $420$ 种　　　　C. $630$ 种　　　　D. $840$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 按男教师人数分类：2 男 1 女或 1 男 2 女。
2. 2 男 1 女：${\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_4^1\cdot 3!$。
3. 1 男 2 女：${\mathrm{C}}_5^1{\mathrm{C}}_4^2\cdot 3!$，两类相加。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

按男教师人数分类。选 2 男 1 女：${\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_4^1\cdot 3!=10\times 4\times 6=240$ 种；选 1 男 2 女：${\mathrm{C}}_5^1{\mathrm{C}}_4^2\cdot 3!=5\times 6\times 6=180$ 种。故方案总数为 $240+180=420$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分组分配计数
2. 核心方法：2 男 1 女 ${\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_4^1\cdot 3!=240$；1 男 2 女 ${\mathrm{C}}_5^1{\mathrm{C}}_4^2\cdot 3!=180$；共 $420$
3. 避坑指南：选人后再排班（乘 $3!$）；两类”2 男 1 女""1 男 2 女”相加，别漏乘 $3!$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分组分配计数，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：选人 + 排列两步，分类计数相加；先按男女比例分类选人，再全排列，两步相乘后各类相加

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-12 单-分组分配计数
• 2006-全国卷II文-12 单-志愿者分配计数
• 2010-大纲Ⅱ文-09 单-分组分配计数