2004-全国卷IV文-07 单-对数函数图象交点

本题导读

本题考查对数函数的图象，以及两函数图象交点的意义。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 已知函数 $y={\log }_{\frac{1}{4}}x$ 与 $y=kx$ 的图象有公共点 $A$，且点 $A$ 的横坐标为 $2$，则 $k=$()

A. $-\frac{1}{4}$　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A$ 横坐标 $2$，代入 $y={\log }_{\frac{1}{4}}x$。
2. $y={\log }_{\frac{1}{4}}2=-\frac{1}{2}$。
3. 代入 $y=kx$ 得 $2k=-\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

点 $A$ 的横坐标为 $2$，代入 $y={\log }_{\frac{1}{4}}x$ 得 $y={\log }_{\frac{1}{4}}2=-\frac{1}{2}$.又点 $A$ 在 $y=kx$ 上，故 $2k=-\frac{1}{2}$，$k=-\frac{1}{4}$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数图象交点
2. 核心方法：$A$ 横坐标 $2$：$y={\log }_{\frac{1}{4}}2=-\frac{1}{2}$，又在 $y=kx$ 上，$2k=-\frac{1}{2}$，$k=-\frac{1}{4}$
3. 避坑指南：${\log }_{\frac{1}{4}}2=-\frac{1}{2}$（${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1/2}=2$）；代入 $y=kx$ 解 $k$，别把横纵坐标搞反

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于对数函数的图象，教材”对数函数”
2. 结论推广: 一般化：两图象交点坐标同时满足两函数解析式；交点横坐标代入对数求纵坐标，再代入直线解参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-11 填-图象交点与分段函数
• 2007-四川文-02 单-对数指数图象判断
• 2007-湖南文-08 单-分段函数与对数交点