2004-全国卷III文-18 解-二倍角化简求值

本题导读

本题考查二倍角公式与同角三角函数关系。核心在于把分子化出 $\cos 2\alpha$ 后约分。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 已知 $\alpha$ 为锐角，且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，求 $\frac{\sin 2\alpha \cos \alpha -\sin \alpha }{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 得 $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$。
2. 分子 $=\sin \alpha (2{\cos }^2\alpha -1)=\sin \alpha \cos 2\alpha$。
3. 约去 $\cos 2\alpha$，原式 $=\frac{1}{2\cos \alpha }$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{5}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\alpha$ 为锐角且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，得 $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{3}{5}\ne 0$.分子 $\sin 2\alpha \cos \alpha -\sin \alpha =2\sin \alpha {\cos }^2\alpha -\sin \alpha =\sin \alpha (2{\cos }^2\alpha -1)=\sin \alpha \cos 2\alpha$.故原式 $=\frac{\sin \alpha \cos 2\alpha }{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }=\frac{\sin \alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{1}{2\cos \alpha }=\frac{1}{2\times \frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5}}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角化简求值
2. 核心方法：$\tan \alpha =\frac{1}{2}$：$\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$；原式 $=\frac{\sin \alpha \cos 2\alpha }{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }=\frac{\sin \alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{1}{2\cos \alpha }=\frac{\sqrt{5}}{4}$
3. 避坑指南：分子 $\sin 2\alpha \cos \alpha -\sin \alpha =\sin \alpha (2{\cos }^2\alpha -1)=\sin \alpha \cos 2\alpha$；约去 $\cos 2\alpha$ 前确认 $\cos 2\alpha \ne 0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二倍角公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：含 $\sin 2\alpha \cos \alpha -\sin \alpha$ 提取 $\sin \alpha$ 化 $\sin \alpha \cos 2\alpha$；先化同名同角再约分；约分前确认被约式非零

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.04 三角平方差公式

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-08 单-二倍角恒等化简
• 2005-浙江卷文-15 解-二倍角与同角关系化简
• 2006-江苏卷-14 填-三角化简求值