2004-全国卷III文-16 填-点到直线的距离

本题导读

本题考查点到直线的距离，以及圆上动点到直线距离的最小值。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 设 $P$ 为圆 $x^2+y^2=1$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $3x-4y-10=0$ 的距离的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $(0,0)$ 到直线距离 $d=\frac{|-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$。
2. 圆上点到直线最近距离 $=d-1$。
3. 得 $1$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $(0,0)$ 到直线 $3x-4y-10=0$ 的距离为 $\frac{|-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2$.圆上点到直线的最近距离等于圆心到直线的距离减去半径，即 $2-1=1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线的距离
2. 核心方法：圆心 $(0,0)$ 到直线 $3x-4y-10=0$ 距离 $\frac{|-10|}{5}=2$；圆上点到直线最近距离 $=2-1=1$
3. 避坑指南：直线到圆心距离减去半径；注意 $3x-4y-10=0$ 中 $|c|=10$，$\sqrt{3^2+4^2}=5$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于点到直线距离，教材”直线与圆”
2. 结论推广: 一般化：圆上点到直线最近（远）距离 $=$ 圆心到直线距离 $\mp$ 半径；圆心到直线距离用点到直线距离公式，再减半径得最近距离

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-14 填-点到直线距离求圆方程
• 2006-湖南文-07 单-圆上点到直线距离差
• 2007-安徽文-05 单-圆心到直线距离