2006-湖南文-07 单-圆上点到直线距离差

本题导读

本题考查圆，以及直线与圆。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 圆 $x^2+y^2-4x-4y-10=0$ 上的点到直线 $x+y-14=0$ 的最大距离与最小距离的差是()

A. $36$　　　　　　　B. $18$　　　　　　　C. $6\sqrt{2}$　　　　　　　D. $5\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆方程配方：$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=9$，圆心 $(2,2)$，半径 $r=3$。
2. 圆心到直线距离 $d=\frac{|2+2-14|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$。
3. $d>r$，直线与圆相离。圆上点到直线距离最大 $d+r$、最小 $d-r$，差 $=2r=6\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2-4x-4y-10=0$ 配方得 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=9$，圆心 $(2,2)$，半径 $r=3$． 圆心到直线 $x+y-14=0$ 的距离 $d=\frac{|2+2-14|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}>r,$ 直线与圆相离．圆上点到直线的距离最大为 $d+r$、最小为 $d-r$， 故最大距离与最小距离的差为 $(d+r)-(d-r)=2r=6\sqrt{2}$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆上点到直线距离差

核心方法：圆心 $(2,2)$ 半径 $3$，圆心到直线距离 $d=\frac{|2+2-14|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$，最大最小距离差 $=2r=6\sqrt{2}$

避坑指南：圆上点到直线距离的最大与最小之差恒为直径 $2r$，与直线位置无关（只要不相交）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 圆上点到直线距离最值，直线与圆

结论推广: 最大最小距离差 $=2r$（直径）

方法推广: 圆到直线距离问题先求圆心距 $d$，最大 $d+r$、最小 $d-r$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-福建文-14 填-直线与圆相离
• 2008-大纲Ⅰ文-10 单-直线与圆公共点
• 2009-陕西卷文-04 单-直线与圆弦长
• 2008-安徽文-10 单-直线与圆公共点