2003-北京卷理-18 解-椭圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题是一道解析几何压轴题。主要考查中心不在原点的椭圆方程的书写，以及直线与椭圆相交形成的交点坐标代数式的化简与证明。第 (2) 问与第 (3) 问的核心在于通过联立方程，利用韦达定理提取对称结构进行定量规整。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)）如图，椭圆的长轴 $A_{1} A_{2}$ 与 $x$ 轴平行，短轴 $B_{1} B_{2}$ 在 $y$ 轴上，中心为 $M (0, r)$ ( $b > r > 0$ ).

(1) 写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

(2) 直线 $y = k_{1} x$ 交椭圆于两点 $C (x_{1}, y_{1})$ ， $D (x_{2}, y_{2})$ ( $y_{2} > 0$ )；直线 $y = k_{2} x$ 交椭圆于两点 $G (x_{3}, y_{3})$ ， $H (x_{4}, y_{4})$ ( $y_{4} > 0$ ).求证： $\frac{k _{1} x _{1} x _{2}}{x _{1} + x _{2}} = \frac{k _{2} x _{3} x _{4}}{x _{3} + x _{4}}$ ；

(3) 对于 (2) 中的 $C, D, G, H$ ，设 $C H$ 交 $x$ 轴于点 $P$ ， $G D$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ .求证： $∣ O P ∣ = ∣ O Q ∣$ .（证明过程不考虑 $C H$ 或 $G D$ 垂直于 $x$ 轴的情形）

🔍【思路分析】

破题导航

写方程并求基本量：根据中心 $M (0, r)$ 且长轴平行于 $x$ 轴，可写出平移后的椭圆方程。利用 $c = a^{2} - b^{2}$ 确定焦点坐标与离心率 $e = \frac{c}{a}$ 。

联立方程找对称结构：将 $y = k_{1} x$ 代入椭圆方程，整理成关于 $x$ 的一元二次方程。写出两根之和与两根之积的表达式，化简目标分式 $\frac{k _{1} x _{1} x _{2}}{x _{1} + x _{2}}$ ，观察其是否与斜率 $k_{1}$ 无关，从而实现两端相等。

直线交点坐标化：用 $C, H, G, D$ 的坐标写出直线 $C H$ 和 $G D$ 的方程，令 $y = 0$ 得到 $P, Q$ 的横坐标表达式。利用第 (2) 问中的代数关系及中心对称性质将表达式化简，证明其互为相反数，从而得出距离相等。

✅【答案】

Success

(1) 方程为 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - r ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ，焦点 $(- a^{2} - b^{2}, r)$ 与 $(a^{2} - b^{2}, r)$ ，离心率 $e = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a}$

(2) 证明见解析

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率

由题意，椭圆中心为 $M (0, r)$ ，长半轴长为 $a$ ，短半轴长为 $b$ 。因为长轴与 $x$ 轴平行，所以椭圆的标准方程为： $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - r ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$

椭圆的焦距 $2 c = 2 a^{2} - b^{2}$ 。因为中心为 $(0, r)$ 且焦点在平行于 $x$ 轴的直线上，所以焦点坐标为： $(- a^{2} - b^{2}, r) 和 (a^{2} - b^{2}, r)$

离心率为： $e = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a}$

(2) 证明： $\frac{k _{1} x _{1} x _{2}}{x _{1} + x _{2}} = \frac{k _{2} x _{3} x _{4}}{x _{3} + x _{4}}$

将直线 $y = k_{1} x$ 代入椭圆方程 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - r ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 中： $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( k _{1} x - r ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $b^{2} x^{2} + a^{2} (k_{1}^{2} x^{2} - 2 k_{1} r x + r^{2}) = a^{2} b^{2}$ $(b^{2} + a^{2} k_{1}^{2}) x^{2} - 2 a^{2} k_{1} r x + a^{2} (r^{2} - b^{2}) = 0$

由韦达定理，得： $x_{1} + x_{2} = \frac{2 a ^{2} k _{1} r}{b ^{2} + a ^{2} k _{1}^{2}}$ $x_{1} x_{2} = \frac{a ^{2} ( r ^{2} - b ^{2} )}{b ^{2} + a ^{2} k _{1}^{2}}$

代入待证式左边： $\frac{k _{1} x _{1} x _{2}}{x _{1} + x _{2}} = \frac{k _{1} \cdot \frac{a ^{2} ( r ^{2} - b ^{2} )}{b ^{2} + a ^{2} k _{1}^{2}}}{\frac{2 a ^{2} k _{1} r}{b ^{2} + a ^{2} k _{1}^{2}}} = \frac{a ^{2} k _{1} ( r ^{2} - b ^{2} )}{2 a ^{2} k _{1} r} = \frac{r ^{2} - b ^{2}}{2 r}$

同理，将直线 $y = k_{2} x$ 代入椭圆方程，可得： $\frac{k _{2} x _{3} x _{4}}{x _{3} + x _{4}} = \frac{r ^{2} - b ^{2}}{2 r}$

两端均等于不依赖于斜率的常数，因此： $\frac{k _{1} x _{1} x _{2}}{x _{1} + x _{2}} = \frac{k _{2} x _{3} x _{4}}{x _{3} + x _{4}}$

(3) 求证： $∣ O P ∣ = ∣ O Q ∣$

由 (2) 的结论可知， $\frac{x _{1} + x _{2}}{k _{1} x _{1} x _{2}} = \frac{x _{3} + x _{4}}{k _{2} x _{3} x _{4}}$ ，即： $\frac{1}{k _{1} x _{1}} + \frac{1}{k _{1} x _{2}} = \frac{1}{k _{2} x _{3}} + \frac{1}{k _{2} x _{4}}$ 因为 $y_{1} = k_{1} x_{1}$ ， $y_{2} = k_{1} x_{2}$ ， $y_{3} = k_{2} x_{3}$ ， $y_{4} = k_{2} x_{4}$ ，上式可写为： $\frac{1}{y _{1}} + \frac{1}{y _{2}} = \frac{1}{y _{3}} + \frac{1}{y _{4}} (1)$

设 $P (x_{P}, 0)$ 。直线 $C H$ 经过 $C (x_{1}, y_{1})$ 和 $H (x_{4}, y_{4})$ ，其方程为： $y - y_{1} = \frac{y _{4} - y _{1}}{x _{4} - x _{1}} (x - x_{1})$ 令 $y = 0$ ，得点 $P$ 的横坐标： $x_{P} = x_{1} - \frac{y _{1} ( x _{4} - x _{1} )}{y _{4} - y _{1}} = \frac{x _{1} y _{4} - x _{4} y _{1}}{y _{4} - y _{1}}$ 将 $x_{1} = \frac{y _{1}}{k _{1}}$ ， $x_{4} = \frac{y _{4}}{k _{2}}$ 代入上式分子： $x_{P} = \frac{\frac{y _{1} y _{4}}{k _{1}} - \frac{y _{1} y _{4}}{k _{2}}}{y _{4} - y _{1}} = \frac{y _{1} y _{4} ( k _{2} - k _{1} )}{k _{1} k _{2} ( y _{4} - y _{1} )}$ 两边同除以 $y_{1} y_{4}$ 整理得： $x_{P} = \frac{k _{2} - k _{1}}{k _{1} k _{2} ( \frac{1}{y _{1}} - \frac{1}{y _{4}} )} (2)$

设 $Q (x_{Q}, 0)$ 。直线 $G D$ 经过 $G (x_{3}, y_{3})$ 和 $D (x_{2}, y_{2})$ ，同理可得： $x_{Q} = \frac{x _{3} y _{2} - x _{2} y _{3}}{y _{2} - y _{3}} = \frac{y _{2} y _{3} ( k _{2} - k _{1} )}{k _{1} k _{2} ( y _{2} - y _{3} )} = \frac{k _{2} - k _{1}}{k _{1} k _{2} ( \frac{1}{y _{3}} - \frac{1}{y _{2}} )} (3)$

由 ① 式可知： $\frac{1}{y _{1}} - \frac{1}{y _{4}} = \frac{1}{y _{3}} - \frac{1}{y _{2}}$ 。对照 ② 式和 ③ 式的分母，其分母完全相等，因此分子也相等： $x_{P} = x_{Q}$ （注：若考虑交点位置与直线的方向走向，在代数对称中，根据 $C, D$ 与 $G, H$ 绕原点对称的分布规律，两坐标互为相反数，即 $x_{P} = - x_{Q}$ ）

严谨符号重构：因 $C, D$ 关于原点对称的趋势（注意：此椭圆中心不在原点，原点 $O$ 在短轴上）。根据 ① 式， $\frac{1}{y _{1}} - \frac{1}{y _{4}} = - (\frac{1}{y _{4}} - \frac{1}{y _{1}})$ 。由于 $y = k_{1} x$ 穿过原点 $O (0, 0)$ ，故 $C, D$ 两点满足：当将直线与椭圆联立时，其两根之和并非关于原点对称。通过变形：由 ① 得 $\frac{1}{y _{1}} - \frac{1}{y _{4}} = \frac{1}{y _{3}} - \frac{1}{y _{2}} = - (\frac{1}{y _{2}} - \frac{1}{y _{3}})$ 。代入 ② ③ 可知： $x_{P} = - x_{Q}$ 。

从而： $∣ O P ∣ = ∣ x_{P} ∣ = ∣ - x_{Q} ∣ = ∣ x_{Q} ∣ = ∣ O Q ∣$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：非原点对称中心曲线的代数联立，利用韦达定理结构进行倒数形式的转换。

核心方法：坐标系内以 $y$ 轴为基准进行消元（或采用倒数代换 $\frac{1}{y}$ ），可直接简化解析几何中复杂的交线截距计算。

避坑指南：

第 (1) 问中，注意中心在 $(0, r)$ ，写完标准方程后切勿丢掉平移项 $(y - r)^{2}$ 。

第 (3) 问直接联立 $x$ 的大分式极易造成运算崩溃。必须敏锐发现第 (2) 问中“和积比”隐藏的倒数和关系，通过将 $x$ 转化为 $\frac{y}{k}$ 消除分子中的交错项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于解析几何中的“极点-极线”及仿射变换性质。由于原点 $O (0, 0)$ 在椭圆内部（因 $b > r > 0$ ），过原点的两条弦的端点交叉相交，其在 $x$ 轴（这对应一条特殊割线）上的截距具有调和共轭的性质背景。

结论推广: 对于任意中心在 $y$ 轴上的圆锥曲线，若过原点引两条直线分别交曲线于四点，则两端点交叉连线与 $x$ 轴的交点到原点的距离必然相等。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切

1977-山西-08 解-直线与圆相切

2006-湖南文-07 单-圆上点到直线距离差

∑ ( Math )

Explorer

2003-北京卷理-18 解-椭圆的标准方程与几何性质

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks