2004-全国卷III文-13 填-复合函数定义域

本题导读

本题考查复合函数的定义域，以及对数函数底小于 $1$ 时的单调性。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 函数 $y=\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)}$ 的定义域是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 被开方数非负：${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)⩾0$。
2. 真数 $x-1>0$。
3. 底 $\frac{1}{2}<1$，${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)⩾0\Rightarrow 0<x-1⩽1$。

✅【答案】

Success

$(1,2]$

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，需 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)⩾0$ 且 $x-1>0$.因底 $\frac{1}{2}<1$，${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)⩾0$ 等价于 $0<x-1⩽1$，即 $1<x⩽2$.故定义域为 $(1,2]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数定义域
2. 核心方法：$\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)}$：需 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)⩾0$ 且 $x-1>0$；${\log }_{\frac{1}{2}}$ 递减，${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)⩾0\Rightarrow 0<x-1⩽1$，即 $1<x⩽2$
3. 避坑指南：对数底 $\frac{1}{2}<1$ 是减函数，${\log }_{\frac{1}{2}}u⩾0\Rightarrow u⩽1$；再结合真数 $>0$ 取交集

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于复合函数定义域，教材”函数的概念”
2. 结论推广: 一般化：$\sqrt{{\log }_{a}f(x)}$ 需 ${\log }_{a}f(x)⩾0$ 且 $f(x)>0$，按 $a$ 与 1 大小定 $f(x)$ 范围；对数底与 1 比较定单调性，再与真数 $>0$ 取交

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷文-04 单-对数型复合函数的定义域
• 2005-湖北卷文-13 填-对数根式函数的定义域
• 2006-广东卷-01 单-根式对数定义域