2005-江西卷文-04 单-对数型复合函数的定义域

本题导读

本题考查对数型复合函数的定义域，以及真数取正与对数值非零的双重要求。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{{\log }_2(-x^2+4x-3)}$ 的定义域为()

A. $(1,2)\cup (2,3)$　　　B. $(-\infty ,1)\cup (3,+\infty )$　　　C. $(1,3)$　　　D. $[1,3]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 真数 $-x^2+4x-3>0$ 得 $1<x<3$。
2. 分母 ${\log }_2(\cdot )\ne 0$ 即真数 $\ne 1$，得 $x\ne 2$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，须 $-x^2+4x-3>0$ 且 ${\log }_2(-x^2+4x-3)\ne 0$．由 $-x^2+4x-3>0$ 得 $(x-1)(x-3)<0$，即 $1<x<3$；由 ${\log }_2(-x^2+4x-3)\ne 0$ 得 $-x^2+4x-3\ne 1$，即 $(x-2{)}^2\ne 0$，$x\ne 2$．故定义域为 $(1,2)\cup (2,3)$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型复合函数的定义域

核心方法：真数大于 $0$ 且对数值非 $0$ 双约束

避坑指南：分母是 ${\log }_2(\cdot )$，还须整体 $\ne 0$，即真数 $\ne 1$；漏掉"$\log \ne 0$"就会选 C

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 函数的概念

结论推广：复合函数定义域：真数 $>0$、分母 $\ne 0$、对数值 $\ne 0$ 逐条落实

方法推广：定义域问题先列全部约束再解联立，“分母为对数”常被漏掉对数值非零的约束

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-04 单-函数定义域
• 2010-大纲Ⅱ文-04 单-对数反函数
• 2020-新课标III文-04 单-对数模型