2004-全国卷III文-08 单-双曲线渐近线离心率

本题导读

本题考查双曲线的渐近线与离心率的关系。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 设双曲线的焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线为 $y=\pm \frac{1}{2}x$，则该双曲线的离心率 $e=$()

A. $5$　　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{5}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 渐近线斜率 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$。
2. $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。
3. 代入得 $\frac{\sqrt{5}}{2}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

焦点在 $x$ 轴上的双曲线，渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，故 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$.离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线离心率
2. 核心方法：渐近线 $y=\pm \frac{1}{2}x$ 即 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
3. 避坑指南：焦点在 $x$ 轴时渐近线斜率是 $\pm \frac{b}{a}$；$e=\sqrt{1+(b/a{)}^2}$，别把 $\frac{b}{a}$ 当 $e$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于双曲线的渐近线与离心率，教材”双曲线”
2. 结论推广: 一般化：焦点在 $x$ 轴、渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 时 $e=\sqrt{1+(b/a{)}^2}$；渐近线斜率给 $\frac{b}{a}$，离心率用 $e=\frac{c}{a}$ 与 $c^2=a^2+b^2$ 联动

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.04 椭圆与双曲线性质深度对比表

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II文-09 单-双曲线渐近线离心率
• 2007-江苏卷-03 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-大纲Ⅰ文-05 单-双曲线渐近线离心率