2004-全国卷III文-05 单-圆上一点的切线

本题导读

本题考查圆的切线方程，以及切线斜率与半径的关系。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 圆 $x^2+y^2-4x=0$ 在点 $P(1,\sqrt{3})$ 处的切线方程为()

A. $x+\sqrt{3}y-2=0$　　　B. $x+\sqrt{3}y-4=0$　　　C. $x-\sqrt{3}y+4=0$　　　D. $x-\sqrt{3}y+2=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $(2,0)$，$P(1,\sqrt{3})$ 在圆上。
2. 半径 $OP$ 斜率 $\frac{\sqrt{3}-0}{1-2}=-\sqrt{3}$。
3. 切线斜率 $\frac{1}{\sqrt{3}}$，点斜式写方程。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2-4x=0$ 即 $(x-2{)}^2+y^2=4$，圆心 $(2,0)$.$P(1,\sqrt{3})$ 满足 $1+3-4=0$，在圆上。半径 $OP$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{1-2}=-\sqrt{3}$，故切线斜率为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$，切线方程为 $y-\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1)$，即 $x-\sqrt{3}y+2=0$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆上一点的切线
2. 核心方法：圆 $x^2+y^2-4x=0$ 圆心 $(2,0)$；$P(1,\sqrt{3})$ 处半径斜率 $-\sqrt{3}$，切线斜率 $\frac{1}{\sqrt{3}}$，方程 $x-\sqrt{3}y+2=0$
3. 避坑指南：圆心 $(2,0)$，$P(1,\sqrt{3})$ 在圆上（$1+3-4=0$）；切线斜率是半径斜率的负倒数

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于圆的切线，教材”直线与圆”
2. 结论推广: 一般化：圆上点 $(x_0,y_0)$ 处切线用”圆心到点连线斜率负倒数”；切线斜率=半径斜率的负倒数，点斜式写方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-12 单-圆的切线斜率
• 2005-北京卷文-05 单-圆的切线夹角
• 2006-江苏卷-02 单-圆的切线方程