2002-上海卷文-06 填-圆的切线夹角正切

本题导读

本题考查圆的切线，以及两切线夹角正切值的计算。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 已知圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 和圆外一点 $P(-2,0)$，过点 $P$ 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $O(0,1)$，半径 $r=1$，$|OP|=\sqrt{5}$。
2. 半角 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{|OP|}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}$，$\tan \theta =\frac{4}{3}$。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $O(0,1)$，半径 $r=1$，$|OP|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$．设两切线夹角为 $\theta$，则 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{|OP|}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，故 $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}$．于是 $\tan \theta =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}=\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线夹角正切

核心方法：圆心 $O(0,1)$，$r=1$，$|OP|=\sqrt{5}$；切线夹角半角 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{|OP|}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}$，$\tan \theta =\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$

避坑指南：切线夹角用 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{d}$，再倍角公式求正切

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆的切线

结论推广：一般地，切线夹角半角满足 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{d}$

方法推广：求圆心距，用半角再倍角公式求正切

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-05 单-圆上一点的切线