2004-全国卷III文-01 单-集合交集的元素个数

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及曲线交点的个数。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 设集合 $M=\{(x,y)\mid x^2+y^2=1,x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，$N=\{(x,y)\mid x^2-y=0,x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，则集合 $M\cap N$ 中元素的个数为()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $M$ 是单位圆，$N$ 是抛物线 $y=x^2$。
2. 联立 $x^2+(x^2{)}^2=1$，解出 $x$ 的正负两个值。
3. 每个 $x$ 对应一个点，共 2 个。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$M$ 是单位圆 $x^2+y^2=1$，$N$ 是抛物线 $y=x^2$.联立 $x^2+(x^2{)}^2=1$，令 $t=x^2⩾0$，$t^2+t-1=0$，$t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故 $x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$，对应两个不同的点，$M\cap N$ 中有 2 个元素，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交集的元素个数
2. 核心方法：$M$ 是单位圆 $x^2+y^2=1$，$N$ 是抛物线 $y=x^2$；联立 $x^2+(x^2{)}^2=1$，$x^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，两解 $x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ 对应 2 个点
3. 避坑指南：交集是”点集”的公共点，不是”个数求和”；$x^2+y^2=1$ 与 $y=x^2$ 联立得 $x^2$ 的二次方程，解出 $x$ 的正负两个值

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于集合的交运算与曲线交点，教材”集合”与”圆锥曲线”交汇
2. 结论推广: 一般化：$M\cap N$ 的元素个数=两曲线公共点个数，联立方程解；点集交集联立方程，数交点个数而非数集合元素和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-01 单-集合交集运算
• 2005-上海卷文-11 填-图象交点与分段函数
• 2005-全国卷II文-10 单-集合交集解二次不等式