2004-全国卷II文-16 填-四棱柱直棱柱判定

本题导读

本题考查四棱柱的结构特征，以及直四棱柱判定的命题真假。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱. 其中，真命题的编号是 $\underline{}$.（写出所有真命题的编号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设侧棱向量 $\vec{v}$，其在底面投影为 $\vec{p}$。
2. ①③ 各构造反例（侧棱斜置但满足题设）。
3. ②④ 由垂直条件推出 $\vec{p}=0$，即侧棱 $\perp$ 底面。

✅【答案】

Success

②④

✍【详细解析】

Abstract

设四棱柱底面在水平面内，侧棱向量为 $\vec{v}$，其在底面内投影为 $\vec{p}$.对①，取底面为正方形、侧棱向量 $(1,0,1)$，过底面两条相对且平行边的两个侧面都是竖直平面，均垂直于底面，但侧棱不垂直底面，故①为假命题。对②，过相对侧棱的两个截面分别包含底面对角线 $AC$、$BD$ 与侧棱方向，截面垂直底面时 $\vec{p}$ 须分别平行于 $AC$ 与 $BD$，而非退化四边形的两对角线不平行，只能 $\vec{p}=0$，故②真。对③，取底面为单位正方形、侧棱向量 $(1,1,1)$，四侧面两两全等但侧棱不垂直底面，故③假。对④，设底面对角线向量 $\vec{u}=\overrightarrow{AC}$、$\vec{w}=\overrightarrow{BD}$，四条对角线向量为 $\vec{v}+\vec{u},\vec{v}-\vec{u},\vec{v}+\vec{w},\vec{v}-\vec{w}$，两两相等特别有 $|\vec{v}+\vec{u}|=|\vec{v}-\vec{u}|$ 与 $|\vec{v}+\vec{w}|=|\vec{v}-\vec{w}|$，平方得 $\vec{v}\cdot \vec{u}=0$、$\vec{v}\cdot \vec{w}=0$，两对角线张成底面，故 $\vec{v}\perp$ 底面，④真。真命题编号为②④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四棱柱直棱柱判定
2. 核心方法：②④是真命题：过相对侧棱的两截面垂直底面 $\Rightarrow$ 侧棱垂直底面；四对角线两两相等 $\Rightarrow$ 侧棱垂直底面
3. 避坑指南：①③可构造反例：侧棱向量 $(1,0,1)$ 时两相对侧面竖直但非直棱柱；$(1,1,1)$ 时四侧面全等但斜——“判定直棱柱”须证侧棱 $\perp$ 底面

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于棱柱的结构特征，教材”空间几何体”命题判断
2. 结论推广: 一般化：直四棱柱 $⟺$ 侧棱垂直底面；各命题都要回归这一本质；判断命题用向量反例法：设侧棱向量与底面 Relationships 检验

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2005-北京春文-03 单-空间位置关系命题判定