2005-全国卷II文-16 填-正三棱锥判定命题

本题导读

本题考查正三棱锥与空间几何体的判定，以及命题真假。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥； ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是$\underline{}$．（写出所有真命题的编号）

🔍【思路分析】

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1. 设三棱锥顶点 $S$、底面正三角形 $ABC$、$H$ 为 $S$ 在底面的射影。
2. ①二面角相等 $\Rightarrow H$ 到三边距离相等 $\Rightarrow H$ 为内心（等边三角内心即外心）$\Rightarrow$ 侧棱相等，真。
3. ④侧棱与底面角相等 $\Rightarrow$ 侧棱相等 $\Rightarrow H$ 为外心即中心，真。
4. ②③可构造反例（$H$ 非中心），假。

✅【答案】

Success

$1，3，4$

✍【详细解析】

Abstract

设三棱锥顶点为 $S$，底面为等边三角形 $ABC$，$H$ 为 $S$ 在底面上的射影． 对命题①，二面角的正切等于 $SH$ 除以 $H$ 到相应底边所在直线的有向距离，三个二面角相等 $\Rightarrow$ $H$ 到三边距离相等 $\Rightarrow$ $H$ 为内心；等边三角形内心即外心，故 $SA=SB=SC$，是正三棱锥，命题①真． 对命题②，可举反例：顶点射影不在底面中心时，三个侧面可均为等腰三角形而侧棱不全等，故②假． 对命题③，侧面面积相等只说明 $S$ 到三边距离相等，射影可能是内心也可能是旁心，故③假． 对命题④，三条侧棱与底面所成角相等 $\Rightarrow SH/SA=SH/SB=SH/SC$ $\Rightarrow SA=SB=SC$，顶点射影为底面外心即中心，是正三棱锥，命题④真． 故真命题的编号为 ①④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱锥判定命题

核心方法：①④真：①二面角相等 $\Rightarrow$ 射影为内心（等边三角内心即外心）$\Rightarrow$ 侧棱相等；④侧棱与底面角相等 $\Rightarrow$ 侧棱相等；②③有反例

避坑指南：②侧面等腰不一定侧棱全等、③侧面等面积射影可能是旁心，均为假；别把侧面等腰/等面积误当正三棱锥

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱锥判定条件的辨析

结论推广：正三棱锥 $\iff$ 侧棱相等且底面正三角形；等价于顶点射影为底面中心

方法推广：逐命题找反例：等腰侧面、等面积侧面都可能射影非中心

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-12 单-球截面圆心距
• 2009-大纲Ⅱ文-12 单-正方体展开图