2004-全国卷I理-19 解-导数的四则运算法则

本题导读

本题考查导数的四则运算法则。核心在于导数工具分析法、参数边界分类法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 已知 $a\in \mathbf{R}$，求函数 $f(x)=x^2{\text{e}}^{ax}$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（求导数）：函数由幂函数与指数函数复合乘积组成。套用乘积求导法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 计算出导函数 $f^{\prime }(x)$，并强行提取公因式 $x{\text{e}}^{ax}$，将其整合成因式乘积形式。
2. 第二步逻辑（确定临界零点）：令 $f^{\prime }(x)=0$。由于指数项 ${\text{e}}^{ax}>0$ 恒成立，导函数的零点完全由一次整式因式决定。若 $a\ne 0$，方程存在两个独立的根 $x_1=0$ 和 $x_2=-\frac{2}{a}$。
3. 第三步逻辑（分类讨论单调性）：由于零点 $-\frac{2}{a}$ 的大小位置与正负方向完全取决于参数 $a$ 的正负号，必须分三种情况讨论：
   • 当 $a=0$ 时，原函数退化为常规二次函数。
   • 当 $a>0$ 时， $-\frac{2}{a}<0$，根的偏序链为 $-\frac{2}{a}<0$。
   • 当 $a<0$ 时， $-\frac{2}{a}>0$，根的偏序链为 $0<-\frac{2}{a}$。 针对每种情况，根据导数在相应区间的正负号，分别写出单调递增（$f^{\prime }(x)>0$）与单调递减（$f^{\prime }(x)<0$）区间。

✅【答案】

Success

当 $a=0$ 时，增区间 $(0,+\infty )$，减区间 $(-\infty ,0)$；当 $a>0$ 时，增区间 $\left(-\infty ,-\frac{2}{a}\right)$、$(0,+\infty )$，减区间 $\left(-\frac{2}{a},0\right)$；当 $a<0$ 时，增区间 $\left(0,-\frac{2}{a}\right)$，减区间 $(-\infty ,0)$、$\left(-\frac{2}{a},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：对函数进行求导并因式分解化简 已知函数解析式为： $f(x)=x^2{\text{e}}^{ax}\text{（式1）}$ 原函数的定义域为实数集 $\mathbf{R}$。应用导数的乘积运算法则对（式1）求导数： $f^{\prime }(x)=(x^2{)}^{\prime }\cdot {\text{e}}^{ax}+x^2\cdot ({\text{e}}^{ax}{)}^{\prime }\text{（式2）}$ $f^{\prime }(x)=2x\cdot {\text{e}}^{ax}+x^2\cdot \left(a{\text{e}}^{ax}\right)\text{（式3）}$ 对（式3）右侧各项统一提取公因式 $x{\text{e}}^{ax}$，将其重构为结构化的因式乘积图形： $f^{\prime }(x)=x(2+ax){\text{e}}^{ax}\text{（式4）}$

• 第二步：针对参数 $a$ 的临界状态实施分类讨论 由于对于任意实数 $a$ 和 $x$，指数恒等性质恒满足 ${\text{e}}^{ax}>0$。 因此，导函数 $f^{\prime }(x)$ 的正负号号完全由代数整式 $x(2+ax)$ 决定。 令 $f^{\prime }(x)=0⟹x(2+ax)=0\text{（式5）}$ 下面根据参数 $a$ 的取值特征，分以下三种独立的空间图形情况进行讨论：

• 情况一：当 $a=0$ 时 将 $a=0$ 直接代入导数方程（式4）中： $f^{\prime }(x)=2x\text{（式6）}$

  • 令 $f^{\prime }(x)>0⟹2x>0⟹x>0$；
  • 令 $f^{\prime }(x)<0⟹2x<0⟹x<0$． 此时，函数的单调递增区间为 $(0,+\infty )$，单调递减区间为 $(-\infty ,0)$。

• 情况二：当 $a>0$ 时 由（式5） $x(2+ax)=0⟹a\cdot x\cdot \left(x-\left(-\frac{2}{a}\right)\right)=0$，其存在两个相异的实根： $x_1=-\frac{2}{a},x_2=0\text{（式7）}$ 由于 $a>0$，显然有 $-\frac{2}{a}<0$。导函数 $f^{\prime }(x)$ 本质上是一个开口向上的二次抛物线（乘以正的指数项），零点排布呈现“两边为正、中间为负”的代数特征：

  • 当 $x\in \left(-\infty ,-\frac{2}{a}\right)$ 或 $x\in (0,+\infty )$ 时，导数恒满足 $f^{\prime }(x)>0$；
  • 当 $x\in \left(-\frac{2}{a},0\right)$ 时，导数恒满足 $f^{\prime }(x)<0$． 此时，函数的单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\frac{2}{a}\right)$ 和 $(0,+\infty )$，单调递减区间为 $\left(-\frac{2}{a},0\right)$。

• 情况三：当 $a<0$ 时 由（式5）可知零点依然为 $x_1=0$ 和 $x_2=-\frac{2}{a}$。 由于 $a<0⟹-\frac{2}{a}>0$，此时零点偏序链发生反转。由于最高次项系数 $a<0$，导函数 $f^{\prime }(x)$ 本质上是一个开口向下的二次抛物线（乘以正的指数项），零点排布呈现“两边为负、中间为正”的代数特征：

  • 当 $x\in (0,-\frac{2}{a})$ 时，导数恒满足 $f^{\prime }(x)>0$；
  • 当 $x\in (-\infty ,0)$ 或 $x\in \left(-\frac{2}{a},+\infty \right)$ 时，导数恒满足 $f^{\prime }(x)<0$． 此时，函数的单调递增区间为 $\left(0,-\frac{2}{a}\right)$，单调递减区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $\left(-\frac{2}{a},+\infty \right)$。

• 第三步：汇总并输出完整结论

  • 当 $a=0$ 时，单调递增区间为 $(0,+\infty )$，单调递减区间为 $(-\infty ,0)$；
  • 当 $a>0$ 时，单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\frac{2}{a}\right)$ 和 $(0,+\infty )$，单调递减区间为 $\left(-\frac{2}{a},0\right)$；
  • 当 $a<0$ 时，单调递增区间为 $\left(0,-\frac{2}{a}\right)$，单调递减区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $\left(-\frac{2}{a},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数求导的乘积法则；导函数零点在参数符号影响下的位置演变。
2. 核心方法：导数分析法、分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 在书写最终结论时，切勿用并集符号‘ $\cup$ ’将两个独立的单调区间强行连接（例如错误地写成单调增区间为 $(-\infty ,-\frac{2}{a})\cup (0,+\infty )$）：这是导数大题中最普遍的规范性失分陷阱。单调区间定义在连续的拓扑断面上，如果用并集符号连接，由于中间隔开了递减区域，会导致并集后的非连续集合不满足单调性定义。在高考阅卷标准中，只要出现并集符号‘ $\cup$ ’，该核心步骤分将被直接扣除。请牢记单调区间书写铁律：‘凡是某个函数存在多个并列的单调递增或递减区间，书写结论时必须无条件使用中文“和”字、或用逗号“，”将各个区间进行独立并列书写，严禁使用任何集合运算符连接’。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出处为高中数学教材导数应用章节关于利用导数符号判定超越函数增减性图形的最标准、最典型、最经典的必考大题，是高考考查分类讨论思想基本功最标准的中档解答题。
2. 结论推广: 一般地，设标准超越乘积图形为 $f(x)=x^n{\text{e}}^{ax}(n\in {\mathbf{N}}^{\ast },a\in \mathbf{R})$。根据变分运算原理，其导函数图形在内严格由以下代数整式唯一封闭锁定： $f^{\prime }(x)=x^{n-1}(n+ax){\text{e}}^{ax}$．在复分析的极点理论中，该函数的极值驻点严格位于 $x=0$ 与 $x=-\frac{n}{a}$ 位置处。当总幂次 $n=2$ 时，即退化本题的全部特征。这一单调区间动态分流机制在现代统计学与数理金融学中被称为伽马分布（Gamma Distribution）概率密度函数（PDF）的单峰（Unimodal）极大值点卡位，构成了在随机精算模型中，快速标定违约风险或资产流失概率从递增转向递减（锁定临界转换状态）最底层的微分几何判定方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2006-湖南文-19 解-三次函数单调与水平切线
• 2006-重庆文-19 解-导数切线与单调性
• 1977-山西-09 解-导数运算