2005-湖南卷文-19 解-两曲线公切点与单调性

本题导读

本题考查两曲线公共点处有相同切线的参数求解，以及利用导数研究函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 设 $t\ne 0$，点 $P(t,0)$ 是函数 $f(x)=x^3+ax$ 与 $g(x)=b{x}^2+c$ 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 $P$ 处有相同的切线．

(1)用 $t$ 表示 $a$，$b$，$c$；

(2)若函数 $y=f(x)-g(x)$ 在 $(-1,3)$ 上单调递减，求 $t$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公共点：$f(t)=0$ 且 $g(t)=0$；公切线：$f^{\prime }(t)=g^{\prime }(t)$。
2. 三方程联立解出 $a=-t^2$、$b=t$、$c=-t^3$。
3. $h(x)=f(x)-g(x)=(x-t{)}^2(x+t)$，$h^{\prime }(x)=(3x+t)(x-t)⩽0$ 于 $(-1,3)$ 按零点分布分 $t>0$、$t<0$ 讨论。

✅【答案】

Success

(1) $a=-t^2$，$b=t$，$c=-t^3$；

(2) $t\in (-\infty ,-9]\cup [3,+\infty )$．

✍【详细解析】

Abstract

（1）记 $h(x)=f(x)-g(x)$．因为 $P(t,0)$ 在两条曲线上，所以 $t^3+at=0$，$b{t}^2+c=0$．又两曲线在 $P$ 处有相同的切线，切线斜率相等，即 $f^{\prime }(t)=g^{\prime }(t)$，$3t^2+a=2bt$．由 $t\ne 0$，第一式给出 $a=-t^2$；代入斜率关系得 $2t^2=2bt$，所以 $b=t$；再由 $b{t}^2+c=0$ 得 $c=-t^3$．故 $a=-t^2$，$b=t$，$c=-t^3$． （2）代入所得参数，$h(x)=x^3-t{x}^2-t^{2}x+t^3=(x-t{)}^2(x+t)$，从而 $h^{\prime }(x)=3x^2-2tx-t^2=(3x+t)(x-t)$．$h(x)$ 在 $(-1,3)$ 上单调递减，要求 $h^{\prime }(x)⩽0$ 在该区间上成立．$h^{\prime }(x)$ 是开口向上的二次函数，零点为 $-\frac{t}{3}$ 与 $t$．当 $t>0$ 时，$-\frac{t}{3}<t$，要使 $(-1,3)$ 位于两零点之间，需 $-\frac{t}{3}⩽-1$ 且 $t⩾3$，等价于 $t⩾3$；当 $t<0$ 时，$t<-\frac{t}{3}$，需 $t⩽-1$ 且 $-\frac{t}{3}⩾3$，等价于 $t⩽-9$．当 $t=3$ 或 $t=-9$ 时，导数为零的点在区间端点处，开区间 $(-1,3)$ 内仍有 $h^{\prime }(x)<0$，端点可取．故 $t$ 的取值范围为 $(-\infty ,-9]\cup [3,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两曲线公切点与单调性

核心方法：公共点+公切线联立：$a=-t^2$、$b=t$、$c=-t^3$；$h^{\prime }(x)=(3x+t)(x-t)⩽0$ 于 $(-1,3)$ 定 $t$

避坑指南：$h(x)=(x-t{)}^2(x+t)$ 零点 $t$（二重）与 $-t$；开区间单调递减要求区间夹在两零点间——$t>0$ 得 $t⩾3$，$t<0$ 得 $t⩽-9$，端点可取

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 导数与切线

结论推广：$a=-t^2$，$b=t$，$c=-t^3$；$h(x)=(x-t{)}^2(x+t)$，$t\in (-\infty ,-9]\cup [3,+\infty )$

方法推广：“公共点+相同切线”= 函数值与导数值双双相等（三方程联立）；三次差式因式分解后按零点分布定区间

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II理-19 解-抛物线焦点弦
• 2008-大纲卷I理-19 解-导数
• 2004-全国卷I理-19 解-导数的四则运算法则