2004-全国卷I理-03 单-平面向量的数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量模的性质与运算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 已知 $\vec{a}$、 $\vec{b}$ 均为单位向量，它们的夹角为 $60^{\circ }$，那么 $|\vec{a}+3\vec{b}|=$ ()

A. $\sqrt{7}$　　　　　　　B. $\sqrt{10}$　　　　　　　C. $\sqrt{13}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：已知 $\vec{a},\vec{b}$ 为单位向量，可直接提取模长恒等性质 $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$．再根据夹角 $\theta =60^{\circ }$ 和数量积公式，求出两向量的点积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。
2. 第二步逻辑：由于带有根号或绝对值的不等式或多项式不便于直接计算，利用向量恒等变换法则对目标模长式 $|\vec{a}+3\vec{b}|$ 进行平方重构，将其展开为含有单项平方与复合积的纯代数整式。
3. 第三步逻辑：将第一步求得的单项标量值分别代入展开式中，求得模长的平方值，最后取算术平方根输出最终解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据题目已知条件，“ $\vec{a}$、 $\vec{b}$ 均为单位向量”，可得其核心几何量分别为： $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1\text{（式1）}$ 由于两向量的夹角为 $⟨\vec{a},\vec{b}⟩=60^{\circ }$，根据平面向量数量积的定义式： $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos 60^{\circ }\text{（式2）}$ 将基础恒等性质（式1）及精确三角数值 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 代入（式2）中： $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\text{（式3）}$

设待求的目标几何模长为 $L=|\vec{a}+3\vec{b}|$。 为了消除绝对值（模长）符号，对目标变量 $L$ 进行整体平方变换，利用代数恒等式 $|\vec{\alpha }{|}^2\equiv {\vec{\alpha }}^2$： $L^2=|\vec{a}+3\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+3\vec{b}{)}^2\text{（式4）}$ 对（式4）的多项式应用平面向量乘法分配律（同构于初等代数完全平方公式）展开： $(\vec{a}+3\vec{b}{)}^2={\vec{a}}^2+6\vec{a}\cdot \vec{b}+9{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+6\vec{a}\cdot \vec{b}+9|\vec{b}{|}^2\text{（式5）}$

将（式1）中的单项模长值与（式3）中求得的数量积结果直接代入展开式（式5）中： $L^2=1^2+6\times \left(\frac{1}{2}\right)+9\times 1^2\text{（式6）}$ 对（式6）的代数式进行常数加和计算： $L^2=1+3+9=13\text{（式7）}$ 由于向量的模长性质在欧氏空间内具有非负有界性（$L\ge 0$），对（式7）两边取算术平方根，直接输出最终解： $L=\sqrt{13}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$；完全平方展开式中数量积项与模长平方项的对齐变换。
2. 核心方法：整体模平方化归法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在完全平方展开时，主观想当然错套标量代数公式，将模长错写成 $|\vec{a}|+3|\vec{b}|$ 从而错选 D：这是初学向量几何最普遍的直觉误区。向量的绝对值不满足线性的分配律，即 $|\vec{a}+3\vec{b}|\ne |\vec{a}|+3|\vec{b}|$（仅在两向量同向共线时等号成立）。请牢记向量模长求解铁律：凡是在题目中看到‘已知两个或多个向量的模以及夹角，求其线性组合后的新向量模长’（如 $|\vec{a}\pm \lambda \vec{b}|$），唯一的正确动作无条件是‘先平方展开，求出数值后再开方’。多写一步平方开方的转化过程，可确保后续计算绝不丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“平面向量数量积的坐标运算与几何性质”章节课后常规标配基础题，是高考考查向量运算基础性质最标准的送分低档题。
2. 结论推广: 一般地，若 $|\vec{a}|=\alpha$，$|\vec{b}|=\beta$，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，则由余弦定理，任意线性组合的模长满足： $|\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}|=\sqrt{{\lambda }^2{\alpha }^2+2\lambda \mu \alpha \beta \cos \theta +{\mu }^2{\beta }^2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2006-重庆文-08 单-向量模等求夹角
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比