2004-全国卷I文-20 解-分组组合与独立概率

本题导读

本题考查古典概型与相互独立事件。核心在于”至少”用对立事件、复合概率分步相乘。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 从 10 位同学（其中 6 女，4 男）中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 $\frac{4}{5}$，每位男同学能通过测验的概率均为 $\frac{3}{5}$.试求：

(1) 选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率；

(2) 10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）对立事件是”3 位全为女生”，$\frac{{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{1}{6}$。 2.（2）甲乙同时被选中：第三人从其余 8 人中任取，$\frac{{\mathrm{C}}_8^1}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{1}{15}$。 3. 再乘甲、乙都通过的概率 $\frac{4}{5}\times \frac{3}{5}$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{5}{6}$

(2) $\frac{4}{125}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）“至少有一位男同学”的对立事件是”3 位全是女生”，其概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$.故所求概率 $P=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. （2）甲、乙同时被选中，第三人从其余 8 人中任取 1 人，选法数 ${\mathrm{C}}_8^1$，故被选中的概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_8^1}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$.甲、乙通过测验相互独立，都通过的概率为 $\frac{4}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{12}{25}$.故所求概率为 $\frac{1}{15}\times \frac{12}{25}=\frac{4}{125}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分组组合与独立概率
2. 核心方法：（1）$1-\frac{{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$；（2）$\frac{{\mathrm{C}}_8^1}{{\mathrm{C}}_{10}^3}\times \frac{4}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{1}{15}\times \frac{12}{25}=\frac{4}{125}$
3. 避坑指南：“至少一男”用对立事件（全女 $\frac{{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{1}{6}$）；（2）甲乙同时选中后第三人从剩 8 人任取——再乘两人各自通过概率

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于古典概型与相互独立事件，教材”概率”综合题
2. 结论推广: 一般化：分组选取与通过测验的复合概率，先选人再乘通过概率；分步：先算选中概率，再乘独立通过概率；“至少”用对立事件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-18 解-相互独立事件概率
• 2005-北京卷文-18 解-独立重复试验概率
• 2006-浙江文-18 解-摸球概率与对立事件