2006-浙江文-18 解-摸球概率与对立事件

本题导读

本题考查古典概型。核心在于对立事件化简概率方程。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 甲，乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 $2$ 个红球，$2$ 个白球，乙袋装有 $2$ 个红球，$n$ 个白球。现从甲，乙两袋中各任取 $2$ 个球。

(1) 若 $n=3$，求取到的 $4$ 个球全是红球的概率；

(2) 若取到的 $4$ 个球中至少有 $2$ 个红球的概率为 $\frac{3}{4}$，求 $n$。

🔍【思路分析】

破题导航

(1)

1. $n=3$ 时甲袋 $4$ 球、乙袋 $5$ 球。
2. 全红取法数 ${\mathrm{C}}_2^2{\mathrm{C}}_2^2$，总取法数 ${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_5^2$。
3. 概率 $=\frac{1\times 1}{6\times 10}=\frac{1}{60}$。 (2)
4. 设甲袋取红球数 $X$、乙袋取红球数 $Y$。
5. $P(X=0)=\frac{{\mathrm{C}}_2^2}{{\mathrm{C}}_4^2}=\frac{1}{6}$，$P(X=1)=\frac{{\mathrm{C}}_1^2{\mathrm{C}}_1^2}{{\mathrm{C}}_4^2}=\frac{2}{3}$。
6. $P(Y=0)=\frac{{\mathrm{C}}_n^2}{{\mathrm{C}}_{n+2}^2}=\frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)}$，$P(Y=1)=\frac{{\mathrm{C}}_1^2{\mathrm{C}}_n^1}{{\mathrm{C}}_{n+2}^2}=\frac{4n}{(n+1)(n+2)}$。
7. 至少 $2$ 红的对立是至多 $1$ 红：$P(X+Y⩽1)=\frac{1}{4}$，展开解 $7n^2-11n-6=0$，$n=2$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{1}{60}$

(2) $n=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n=3$ 时，甲袋和乙袋中的球数分别为 $4$ 和 $5$。 从每袋任取 $2$ 个球，所有取法等可能，取到的球全是红球的取法数为 ${\mathrm{C}}_2^2{\mathrm{C}}_2^2$， 故所求概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_2^2{\mathrm{C}}_2^2}{{\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{1}{6\times 10}=\frac{1}{60}$。

(2) 设从甲袋取出的红球数为 $X$，从乙袋取出的红球数为 $Y$。 甲袋中有 $P(X=0)=\frac{{\mathrm{C}}_0^2{\mathrm{C}}_2^2}{{\mathrm{C}}_2^4}=\frac{1}{6}$，$P(X=1)=\frac{{\mathrm{C}}_1^2{\mathrm{C}}_1^2}{{\mathrm{C}}_2^4}=\frac{2}{3}$。 乙袋中共有 $n+2$ 个球，因此 $P(Y=0)=\frac{{\mathrm{C}}_n^2}{{\mathrm{C}}_{n+2}^2}=\frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)}$， $P(Y=1)=\frac{{\mathrm{C}}_1^2{\mathrm{C}}_n^1}{{\mathrm{C}}_{n+2}^2}=\frac{4n}{(n+1)(n+2)}$。 至少有 $2$ 个红球的对立事件是至多有 $1$ 个红球。由两袋取球相互独立， $P(X+Y⩽1)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1)=\frac{n(5n-1)}{6(n+1)(n+2)}$。 由题意，$P(X+Y⩽1)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$， 所以 $\frac{n(5n-1)}{6(n+1)(n+2)}=\frac{1}{4}$，即 $7n^2-11n-6=0$。 解得 $n=2$ 或 $n=-\frac{3}{7}$。因为 $n$ 是白球个数，故 $n=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：摸球概率与对立事件

核心方法：对立事件化简概率方程

避坑指南：全红概率 $\frac{{\mathrm{C}}_2^2{\mathrm{C}}_2^2}{{\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{1}{60}$；至少两红的对立是至多一红，$P(X+Y⩽1)=\frac{1}{4}$ 解出 $n=2$；对立事件比直接分类快

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自古典概型摸球与对立事件，概率综合题

结论推广: “至少”问题取对立面化简运算，推广到抽取类概率

方法推广: 各袋抽取相互独立，分母是各袋组合数乘积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-19 解-摸球古典概型
• 2009-福建卷文-18 解-古典概型摸球