2004-全国卷II文-19 解-分组抽签概率

本题导读

本题考查分组计数与古典概型。核心在于把”两组”转化为只数 $A$ 组的构成并分类相加。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 已知 $8$ 支球队中有 $3$ 支弱队，以抽签方式将这 $8$ 支球队分为 $A$、$B$ 两组，每组 $4$ 支.求：

(1) $A$、$B$ 两组中有一组恰有两支弱队的概率；

(2) $A$ 组中至少有两支弱队的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本事件总数 ${\mathrm{C}}_8^4=70$（选出 $A$ 组即定 $B$ 组）。
2. 设 $A$ 组有 $k$ 支弱队，则 $B$ 组有 $3-k$ 支。
3. （1）$k=1$ 或 $k=2$；（2）$k=2$ 或 $k=3$，分类相加。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{6}{7}$

(2) $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

从 $8$ 支球队中选出进入 $A$ 组的 $4$ 支，基本事件总数为 ${\mathrm{C}}_8^4=70$.设 $A$ 组中有 $k$ 支弱队，则 $B$ 组中有 $3-k$ 支弱队。 （1）恰有一组有 $2$ 支弱队等价于 $k=1$ 或 $k=2$，概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_5^3+{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_5^2}{{\mathrm{C}}_8^4}=\frac{3\times 10+3\times 10}{70}=\frac{6}{7}$. （2）$A$ 组至少有两支弱队等价于 $k=2$ 或 $k=3$，概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_5^2+{\mathrm{C}}_3^3{\mathrm{C}}_5^1}{{\mathrm{C}}_8^4}=\frac{3\times 10+1\times 5}{70}=\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分组抽签概率
2. 核心方法：基本事件 ${\mathrm{C}}_8^4=70$；（1）恰一组 2 弱：$\frac{{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_5^3+{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_5^2}{70}=\frac{6}{7}$；（2）$A$ 组至少 2 弱：$\frac{{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_5^2+{\mathrm{C}}_3^3{\mathrm{C}}_5^1}{70}=\frac{1}{2}$
3. 避坑指南：选 $A$ 组即定 $B$ 组（只数 $A$ 组构成）；“至少”直接分类 $k=2,3$ 相加，或用对立（$k⩽1$）——别把两组分别计数导致重复

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分组计数与古典概型，教材”概率”
2. 结论推广: 一般化：$n$ 强 $m$ 弱分两组的计数只按一组构成算，${\mathrm{C}}_{m+n}^k{\mathrm{C}}_n^{g-k}$ 型；等价转化后用组合数分类相加；检验分子和不超过总数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-20 解-分组组合与独立概率
• 2005-湖南卷文-20 解-等可能事件的分组概率
• 2008-北京文-18 解-均匀分组概率