2004-全国卷I文-10 单-正四面体心距比例

本题导读

本题考查正四面体的结构特征，以及相似图形的面积比。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 已知正四面体 $ABCD$ 的表面积为 $S$，其四个面的中心分别为 $E$、$F$、$G$、$H$.设四面体 $EFGH$ 的表面积为 $T$，则 $\frac{T}{S}$ 等于()

A. $\frac{1}{9}$　　　　　　　B. $\frac{4}{9}$　　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正四面体四个面的中心连线仍构成正四面体。
2. $EFGH$ 的棱长是 $ABCD$ 棱长的 $\frac{1}{3}$。
3. 面积比为相似比的平方。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

正四面体 $ABCD$ 每个面的中心到该面三条边的距离相等，相邻两面中心连线平行于原四面体的一条棱且长度为棱长的 $\frac{1}{3}$，故 $EFGH$ 是棱长为原棱长 $\frac{1}{3}$ 的正四面体，与原四面体相似比为 $\frac{1}{3}$.表面积之比等于相似比的平方，$\frac{T}{S}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四面体心距比例
2. 核心方法：四面体 $EFGH$ 的棱是 $ABCD$ 对应棱的 $\frac{1}{3}$，相似比 $\frac{1}{3}$，面积比 $(\frac{1}{3}{)}^2=\frac{1}{9}$
3. 避坑指南：四个面的中心相连构成与原正四面体相似的更小正四面体，相似比 $\frac{1}{3}$——$T/S$ 是面积比即相似比的平方 $\frac{1}{9}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正四面体的相似与面积比，教材”空间几何体”正多面体的性质
2. 结论推广: 一般化：正四面体各面中心连线构成的小正四面体，相似比 $\frac{1}{3}$，面积比 $\frac{1}{9}$；用相似比转面积比（平方关系），比直接算面积简洁

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷文-07 单-正四面体垂直关系
• 2006-浙江文-14 填-正四面体射影面积
• 2010-大纲Ⅰ文-12 单-球内四面体体积