2003-河南卷-15 填-四面体真命题判断

本题导读

本题考查四面体中的线线垂直，以及空间位置关系的判定。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 对于四面体 $ABCD$，给出下列四个命题： ① 若 $AB=AC$，$BD=CD$，则 $BC\perp AD$； ② 若 $AB=CD$，$AC=BD$，则 $BC\perp AD$； ③ 若 $AB\perp AC$，$BD\perp CD$，则 $BC\perp AD$； ④ 若 $AB\perp CD$，$BD\perp AC$，则 $BC\perp AD$. 其中真命题的序号是 $\underline{}$.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. ① 用垂直平分面；④ 用向量；②③ 举反例。
2. 逐一判定。

✅【答案】

Success

①，④

✍【详细解析】

Abstract

① 中，满足 $AB=AC$ 的点 $A$ 与满足 $BD=CD$ 的点 $D$ 都在 $BC$ 的垂直平分面内，故 $AD$ 在该平面内，而该平面垂直于 $BC$，得 $AD\perp BC$，① 正确。④ 中设 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$，$\overrightarrow{AD}=\mathbf{d}$，由 $AB\perp CD$ 得 $\mathbf{b}\cdot (\mathbf{d}-\mathbf{c})=0$，即 $\mathbf{b}\cdot \mathbf{d}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$；由 $BD\perp AC$ 得 $(\mathbf{d}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=0$，即 $\mathbf{d}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$，故 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=(\mathbf{c}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{d}=\mathbf{c}\cdot \mathbf{d}-\mathbf{b}\cdot \mathbf{d}=0$，④ 正确。②③ 均可举出反例，为假命题。故真命题序号为 ①，④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四面体真命题判断
2. 核心方法：①④正确：①两点均在 $BC$ 垂直平分面内；④由 $AB\perp CD$、$BD\perp AC$ 向量推导 $BC\cdot AD=0$；②③可举反例
3. 避坑指南：真命题用垂直平分面与向量法证，假命题举反例

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材空间位置关系
2. 结论推广: 一般地，垂直平分面内的直线垂直于该线段；真命题找理论依据，假命题举反例

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-04 单-空间位置关系命题
• 2007-广东文-06 单-空间线面真命题判定
• 2004-全国卷I文-10 单-正四面体心距比例