2006-浙江文-14 填-正四面体射影面积

本题导读

本题考查正四面体，以及投影与射影。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 如图，正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $1$，平面 $\alpha$ 过棱 $AB$，且 $CD\parallel \alpha$，则正四面体上的所有点在平面 $\alpha$ 内的射影构成的图形面积是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$。
2. $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，$\vec{v}=\overrightarrow{CD}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$，$|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$ 且 $\vec{u}\perp \vec{v}$。
3. 以 $\vec{u}$、$\vec{v}$ 为正交单位基底，四顶点投影为 $A^{\prime }(0,0)$，$B^{\prime }(1,0)$，$C^{\prime }\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$，$D^{\prime }\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。
4. 投影凸包是对角线 $A^{\prime }{B}^{\prime }$、$C^{\prime }{D}^{\prime }$ 互相垂直且都为 $1$ 的四边形，面积 $=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，取 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$D=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$。 令 $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，$\vec{v}=\overrightarrow{CD}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$，有 $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$ 且 $\vec{u}\perp \vec{v}$， 所以平面 $\alpha$ 可取 $\vec{u}$，$\vec{v}$ 为一组正交单位基底。 在这组基底下，四个顶点的正投影坐标分别为 $A^{\prime }=(0,0)$，$B^{\prime }=(1,0)$，$C^{\prime }=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$，$D^{\prime }=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。 正四面体是四个顶点的凸包，正投影图形是四个投影点的凸包。 该图形的两条对角线 $A^{\prime }{B}^{\prime }$，$C^{\prime }{D}^{\prime }$ 互相垂直，长度都为 $1$，所以面积为 $\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四面体射影面积

核心方法：正交基底投影算凸包

避坑指南：取 $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{v}=\overrightarrow{CD}$ 为正交单位基底，四顶点投影构成对角线垂直的四边形，面积 $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$；正四面体对棱互相垂直是关键

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自正四面体对棱垂直的射影问题，空间想象能力题

结论推广: 正四面体沿对棱方向投影得内接正方形（对角线为棱长），面积 $\frac{{\ell }^2}{2}$，可推广为一般结论

方法推广: 找一组正交单位基底作投影轴，投影图是顶点凸包

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开
• 2008-陕西文-10 单-直二面角的线面角与射影