2004-湖北文-06 单-四面体重心相似

本题导读

本题考查四面体的重心，以及相似几何体的表面积比。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 四面体 $ABCD$ 四个面的重心分别为 $E$、$F$、$G$、$H$，则四面体 $EFGH$ 的表面积与四面体 $ABCD$ 的表面积的比值是()

A. $\frac{1}{27}$　　　　　　B. $\frac{1}{16}$　　　　　　C. $\frac{1}{9}$　　　　　　D. $\frac{1}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $E=\frac{B+C+D}{3}$ 等，则 $\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ 等。
2. 四面体 $EFGH$ 与 $ABCD$ 相似，相似比 $\frac{1}{3}$。
3. 表面积比 $=$ 相似比的平方 $=\frac{1}{9}$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $E,F,G,H$ 分别为与顶点 $A,B,C,D$ 相对的面（即 $BCD,ACD,ABD,ABC$）的重心，则 $E=\frac{B+C+D}{3}$，$F=\frac{A+C+D}{3}$，$G=\frac{A+B+D}{3}$，$H=\frac{A+B+C}{3}$.于是 $\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{EH}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，故四面体 $EFGH$ 与 $ABCD$ 相似，相似比为 $\frac{1}{3}$.表面积之比等于相似比的平方，所以 $S_{EFGH}:S_{ABCD}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四面体重心相似
2. 核心方法：$E=\frac{B+C+D}{3}$ 等，$\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ 等，四面体 $EFGH$ 与 $ABCD$ 相似，相似比 $\frac{1}{3}$，表面积比 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$
3. 避坑指南：各面重心坐标是顶点平均；对应边平行且为原边 $\frac{1}{3}$，表面积比 $=$ 相似比平方，勿写成 $\frac{1}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于四面体重心与相似，教材”空间几何体”
2. 结论推广: 一般化：各面重心连成的四面体与原四面体相似，相似比 $\frac{1}{3}$；重心坐标平均，证对应边成比例

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷文-07 单-正四面体垂直关系
• 2006-浙江文-14 填-正四面体射影面积
• 2004-上海卷文-21 解-正四面体二面角