2004-全国卷I文-06 单-同角三角函数与和角公式

本题导读

本题考查同角三角函数关系，以及两角和公式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 设 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，若 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，则 $\sqrt{2}\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=$()

A. $\frac{7}{5}$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $-\frac{7}{5}$　　　　　　D. $-\frac{1}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\alpha$ 锐角，$\cos \alpha =\frac{4}{5}$。
2. $\sqrt{2}\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\cos \alpha -\sin \alpha$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 且 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ 得 $\cos \alpha =\frac{4}{5}$.$\sqrt{2}\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\cos \alpha -\sin \alpha =\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数与和角公式
2. 核心方法：$\sin \alpha =\frac{3}{5}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{4}{5}$；$\sqrt{2}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})=\cos \alpha -\sin \alpha =\frac{1}{5}$
3. 避坑指南：$\sqrt{2}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})=\cos \alpha -\sin \alpha$（和角展开后 $\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$）；$\alpha$ 锐角故 $\cos \alpha >0$ 取正

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于同角三角函数关系与和角公式，教材”三角恒等变换”基础题
2. 结论推广: 一般化：$\sqrt{2}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})=\cos \alpha -\sin \alpha$ 是高频恒等式；由 $\sin \alpha$ 定 $\cos \alpha$ 时注意象限符号；和角公式展开后合并

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-03 单-同角三角求值与符号
• 2007-大纲Ⅰ文-02 单-同角三角函数求值
• 2006-安徽文-17 解-同角二倍角求值