2003-辽宁卷-19 解-导数公式与求导法则

本题导读

本题核心考查导数在研究函数单调性中的应用。解题关键在于对函数 $f(x)$ 严格求导，通过通分将导函数分子转化为含参的一元二次因式。由于分子中未知根的几何分布依赖于常数 $a$ 的取值，因此需要对判别式以及根与定义域的相对位置进行严谨的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 设 $a>0$，求函数 $f(x)=\sqrt{x}-\ln (x+a)$, $x\in (0,+\infty )$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导通分化简：对 $f(x)$ 求导，利用公式 $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 和 $[\ln (x+a){]}^{\prime }=\frac{1}{x+a}$。通分后，由于分母在定义域内恒正，导函数的正负性完全由分子决定。
2. 根式换元降幂：为简化分子结构，令 $t=\sqrt{x}$ ($t>0$)。此时分子可化为关于 $t$ 的一元二次多项式 $g(t)=t^2-2t+a$。
3. 分类讨论根的分布：

   • 计算二次多项式 $g(t)$ 的判别式 $\Delta =4-4a=4(1-a)$。

   • 当 $\Delta \le 0$ 即 $a\ge 1$ 时，$g(t)\ge 0$ 恒成立，导数恒正。

   • 当 $\Delta >0$ 即 $0<a<1$ 时，$g(t)=0$ 有两个不同实根。需结合两根与定义域 $t>0$ 的空间位置，判断 $f^{\prime }(x)$ 在不同区间上的正负号，从而确定其单调增减区间。

✅【答案】

Success

当 $a\ge 1$ 时，单调递增区间为 $(0,+\infty )$；当 $0<a<1$ 时，单调递增区间为 $\left(0,2-a-2\sqrt{1-a}\right)$ 与 $\left(2-a+2\sqrt{1-a},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left(2-a-2\sqrt{1-a},2-a+2\sqrt{1-a}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

对函数 $f(x)=\sqrt{x}-\ln (x+a)$ 求导： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x+a}$

通分整理得： $f^{\prime }(x)=\frac{x+a-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x+a)}$

因为 $x\in (0,+\infty )$ 且 $a>0$，所以分母 $2\sqrt{x}(x+a)>0$ 恒成立。 因此，导函数 $f^{\prime }(x)$ 的正负性完全由分子 $h(x)=x-2\sqrt{x}+a$ 决定。

为了便于分析，令 $t=\sqrt{x}$。因为 $x>0$，所以 $t>0$。 此时，分子结构可转化为关于 $t$ 的二次多项式： $g(t)=t^2-2t+a(t>0)$

对二次函数 $g(t)$ 的零点及正负性按参数 $a$ 展开分类讨论：

情况 1：当 $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot a=4-4a\le 0$，即 $a\ge 1$ 时 二次函数 $g(t)$ 的图象开口向上，且与 $t$ 轴至多有一个交点。 因此，当 $t>0$ 时， $g(t)\ge 0$ 恒成立。 即 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立（仅在 $a=1,x=1$ 时 $f^{\prime }(x)=0$）。 所以，当 $a\ge 1$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,+\infty )$，无单调递减区间。

情况 2：当 $\Delta =4-4a>0$，即 $0<a<1$ 时 方程 $t^2-2t+a=0$ 有两个不同的实根。根据求根公式，两根分别为： $t_1=\frac{2-\sqrt{4-4a}}{2}=1-\sqrt{1-a}$ $t_2=\frac{2+\sqrt{4-4a}}{2}=1+\sqrt{1-a}$

因为 $0<a<1⟹0<1-a<1⟹0<\sqrt{1-a}<1$。 由此可知，两根均满足大于 0 的定义域约束，即： $0<t_1<1<t_2$

此时，二次项 $g(t)$ 的正负号分布如下：

• 当 $0<t<t_1$ 时， $g(t)>0⟹f^{\prime }(x)>0$；
• 当 $t_1<t<t_2$ 时， $g(t)<0⟹f^{\prime }(x)<0$；
• 当 $t>t_2$ 时， $g(t)>0⟹f^{\prime }(x)>0$。

逆向换元还原至自变量 $x$（由 $x=t^2$）： $x_1=t_1^2=(1-\sqrt{1-a}{)}^2=1+(1-a)-2\sqrt{1-a}=2-a-2\sqrt{1-a}$ $x_2=t_2^2=(1+\sqrt{1-a}{)}^2=1+(1-a)+2\sqrt{1-a}=2-a+2\sqrt{1-a}$

因此，对应的单调区间结构如下：

• 在区间 $(0,x_1)$ 上， $f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增；
• 在区间 $(x_1,x_2)$ 上， $f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减；
• 在区间 $(x_2,+\infty )$ 上， $f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。

综合汇总结论：

• 当 $a\ge 1$ 时， $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,+\infty )$；

• 当 $0<a<1$ 时， $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0,2-a-2\sqrt{1-a}\right)$ 和 $\left(2-a+2\sqrt{1-a},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left(2-a-2\sqrt{1-a},2-a+2\sqrt{1-a}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：根式与对数复合函数复合求导，利用换元法将超越方程转化为多项式方程，一元二次方程根在正半轴的分布判定。
2. 核心方法：分类讨论法、换元法。
3. 避坑指南：

   • 求导通分时，切记不要漏掉常数系数。 $(\sqrt{x}{)}^{\prime }$ 分母带系数 2，而对数部分没有，通分容易错写成 $x+a-\sqrt{x}$。

   • 第二阶段换元后，必须要对新变量 $t=\sqrt{x}$ 的隐性范围 $t>0$ 进行截断控制。若不考虑 $t>0$，在判定根的分布时容易因边界模糊导致区间端点漏掉。

   • 最终作答时，单调区间必须还原为原自变量 $x$ 的范围，不能直接保留中间变量 $t_1,t_2$ 的表达式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于导数板块中高规格的压轴大题，侧重于基本功的全面复检。通过将根式与对数函数交织在一起，深入考查多变量边界控制与逻辑分类能力。
2. 结论推广: 本题在高等数学中属于典型的多平衡态稳定性分析。函数 $f(x)=\sqrt{x}-\ln (x+a)$ 对应的导数零点代表系统的极值动平衡点。当 $a\ge 1$ 时，系统无极值，曲线无分叉（单调递增）；当 $0<a<1$ 时，系统发生鞍结分叉（Saddle-node Bifurcation），产生一个局部极大值点（不稳定平衡态 $x_1$）和一个局部极小值点（稳定平衡态 $x_2$）。这一代数模型在化学生物反应动力学的阈值浓度判定中是核心数理框架。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-21 解-导数单调最值
• 2006-湖南文-19 解-三次函数单调与水平切线
• 2006-重庆文-19 解-导数切线与单调性