2003-河南卷-10 单-双曲线方程求参数

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及弦中点条件与韦达定理的运用。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F(\sqrt{7},0)$，直线 $y=x-1$ 与其相交于 $M$，$N$ 两点，$MN$ 中点的横坐标为 $-\frac{2}{3}$，则此双曲线的方程是()

A. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$　　C. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{2}=1$　　D. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{5}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$a^2+b^2=7$。
2. 代入 $y=x-1$，韦达定理得 $x_1+x_2=\frac{-2a^2}{b^2-a^2}$，中点条件定 $a,b$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，由焦半距 $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{7}$ 得 $a^2+b^2=7$.将 $y=x-1$ 代入得 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{(x-1{)}^2}{b^2}=1$，整理为关于 $x$ 的二次方程，由韦达定理得 $x_1+x_2=\frac{-2a^2}{b^2-a^2}$.中点横坐标为 $-\frac{2}{3}$，故 $x_1+x_2=-\frac{4}{3}$，即 $\frac{-2a^2}{b^2-a^2}=-\frac{4}{3}$，得 $5a^2=2b^2$.联立 $a^2+b^2=7$ 解得 $a^2=2$，$b^2=5$，双曲线方程为 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{5}=1$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线方程求参数
2. 核心方法：中点横坐标 $-\frac{2}{3}$ 得 $\frac{-2a^2}{b^2-a^2}=-\frac{4}{3}$，即 $5a^2=2b^2$，结合 $a^2+b^2=7$ 得 $a^2=2,b^2=5$
3. 避坑指南：点差法或韦达定理定中点，联立离心条件

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材双曲线的标准方程
2. 结论推广: 一般地，弦中点条件用韦达定理（点差法）；联立消元用韦达定理定中点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-06 单-双曲线离心率
• 2003-大纲文-05 单-双曲线离心率
• 2004-福建文-12 单-双曲线定义应用