2003-河南卷-08 单-正方体内接八面体体积

本题导读

本题考查正方体内接八面体的体积，以及割补法求体积。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 棱长为 $a$ 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()

A. $\frac{a^3}{3}$　　　　　　B. $\frac{a^3}{4}$　　　　　　C. $\frac{a^3}{6}$　　　　　　D. $\frac{a^3}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 六个面中心构成正八面体，可剖成八个全等小三棱锥。
2. 每个三角形面边长 $\frac{a}{\sqrt{2}}$，小棱锥高 $\frac{a}{2\sqrt{3}}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

取正方体中心为原点，六个面的中心分别为 $\left(\pm \frac{a}{2},0,0\right)$，$\left(0,\pm \frac{a}{2},0\right)$，$\left(0,0,\pm \frac{a}{2}\right)$，它们构成正八面体，可剖成八个全等四面体。每个三角形面的边长为 $\frac{a}{\sqrt{2}}$，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^2$；中心到该面的距离为 $\frac{a}{2\sqrt{3}}$，故一个小四面体的体积为 $\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{8}{a}^2\cdot \frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a^3}{48}$.所以八面体体积为 $8\times \frac{a^3}{48}=\frac{a^3}{6}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体内接八面体体积
2. 核心方法：六面心构成正八面体，$V=8\times \frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{8}{a}^2\cdot \frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a^3}{6}$
3. 避坑指南：正八面体可剖成八个全等小三棱锥求体积

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材正方体与正八面体
2. 结论推广: 一般地，正八面体体积为 $\frac{a^3}{6}$（$a$ 为对应正方体棱长）；剖分成全等小三棱锥求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-10 单-正方体内接八面体体积
• 2006-安徽文-06 单-正八面体外接球
• 2006-山东文-08 单-正方体内外接球