2003-大纲文-17 解-正四棱柱公垂线与距离

本题导读

本题考查正四棱柱中公垂线的证明与点到平面的距离。核心在于建系用向量证垂直，用法向量求距离。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，$AB=1$，$A{A}_1=2$，$E$ 为 $C{C}_1$ 中点，$F$ 为 $B{D}_1$ 中点.

(1) 证明：$EF$ 为 $B{D}_1$ 与 $C{C}_1$ 的公垂线；

(2) 求点 $D_1$ 到面 $BDE$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $A$ 为原点，$E=(1,1,1)$，$F=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$，$\overrightarrow{EF}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)$。
2. $B{D}_1$ 方向 $(-1,1,2)$，$C{C}_1$ 方向 $(0,0,2)$；$EF$ 与两者均垂直且相交。
3. 平面 $BDE$ 法向量 $(1,1,-1)$，$d=\frac{|0+1-2-1|}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，$AB,AD,A{A}_1$ 为三个坐标轴正方向建系，则 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(1,1,0)$，$D=(0,1,0)$，$A_1=(0,0,2)$，$B_1=(1,0,2)$，$C_1=(1,1,2)$，$D_1=(0,1,2)$.由中点坐标公式 $E=(1,1,1)$，$F=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$. （1）$B{D}_1$ 的方向向量为 $(-1,1,2)$，$C{C}_1$ 的方向向量为 $(0,0,2)$，而 $\overrightarrow{EF}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$.计算得 $\overrightarrow{EF}\cdot (-1,1,2)=0$，$\overrightarrow{EF}\cdot (0,0,2)=0$，又 $F\in B{D}_1$、$E\in C{C}_1$，故 $EF$ 分别垂直于 $B{D}_1$ 与 $C{C}_1$ 且与两者相交，$EF$ 是 $B{D}_1$ 与 $C{C}_1$ 的公垂线。 （2）平面 $BDE$ 内两个不共线向量 $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$、$\overrightarrow{BE}=(0,1,1)$，其向量积 $\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BE}=(1,1,-1)$ 为平面 $BDE$ 的一个法向量，故平面方程 $x+y-z-1=0$.点 $D_1=(0,1,2)$ 到该平面的距离为 $d=\frac{|0+1-2-1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四棱柱公垂线与距离
2. 核心方法：建系 $A$ 为原点，$E=(1,1,1)$，$F=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$，$\overrightarrow{EF}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)$；（1）$EF\cdot (-1,1,2)=0$、$EF\cdot (0,0,2)=0$ 证公垂线；（2）法向量 $(1,1,-1)$，$d=\frac{|0+1-2-1|}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
3. 避坑指南：公垂线证与两直线方向向量均垂直且相交；点面距 $d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$，分子带绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正四棱柱与空间距离，教材”立体几何”
2. 结论推广: 一般化：公垂线证两方向向量均垂直；点面距用法向量；建系求公垂线，法向量求点面距

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2006-北京文-17 解-正四棱柱线面垂直与异面角
• 2006-重庆文-20 解-正四棱柱二面角异面角
• 2004-重庆文-19 解-四棱锥公垂线与线面角