2006-重庆文-20 解-正四棱柱二面角异面角

本题导读

本题考查正四棱柱。核心在于坐标法求二面角、平移求异面角。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 如图，在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=1$，$B{B}_1=\sqrt{3}+1$，$E$ 为 $B{B}_1$ 上使 $B_{1}E=1$ 的点，平面 $AE{C}_1$ 交 $D{D}_1$ 于 $F$，交 $A_1{D}_1$ 的延长线于 $G$。求：

(1) 异面直线 $AD$ 与 $C_{1}G$ 所成角的大小；

(2) 二面角 $A-C_{1}G-A_1$ 的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$B_1$ 为原点，$B_1{C}_1,B_1{A}_1,B_{1}B$ 分别为 $x,y,z$ 轴，记 $h=\sqrt{3}+1$。
2. 坐标：$A_1(0,1,0)$，$C_1(1,0,0)$，$D_1(1,1,0)$，$A(0,1,h)$，$D(1,1,h)$，$E(0,0,1)$。
3. 平面 $AE{C}_1$ 的法向量：$\overrightarrow{E{C}_1}=(1,0,-1)$、$\overrightarrow{EA}=(0,1,\sqrt{3})$，叉积得 $(1,-\sqrt{3},1)$，方程 $x-\sqrt{3}y+z-1=0$。
4. $F$ 在 $D{D}_1$（$x=y=1$）上：$1-\sqrt{3}+z-1=0$，$z=\sqrt{3}$，$F(1,1,\sqrt{3})$。
5. $G$ 在 $A_1{D}_1$ 延长线（$y=1,z=0$）上：$x-\sqrt{3}-1=0$，$x=\sqrt{3}+1=h$，$G(h,1,0)$。
6. (1) $\overrightarrow{AD}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{C_{1}G}=(h-1,1,0)=(\sqrt{3},1,0)$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{6}$。
7. (2) 平面 $A{C}_{1}G$ 即平面 $AE{C}_1$，法向量 $(1,-\sqrt{3},1)$；平面 $A_1{C}_{1}G$ 即底面，法向量 $(0,0,1)$。两法向量夹角余弦 $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\tan \phi =2$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{\pi }{6}$

(2) $2$

✍【详细解析】

Abstract

取 $B_1$ 为原点，$B_1{C}_1$、$B_1{A}_1$、$B_{1}B$ 分别为 $x$、$y$、$z$ 轴正方向，记 $h=\sqrt{3}+1$． 则 $A_1(0,1,0)$，$C_1(1,0,0)$，$D_1(1,1,0)$，$A(0,1,h)$，$D(1,1,h)$，$E(0,0,1)$． 由 $\overrightarrow{E{C}_1}=(1,0,-1)$、$\overrightarrow{EA}=(0,1,\sqrt{3})$ 可得平面 $AE{C}_1$ 的一个法向量为 $(1,-\sqrt{3},1)$，故其方程为 $x-\sqrt{3}y+z-1=0$．

在直线 $D{D}_1$ 上 $x=y=1$，代入平面方程得 $z=\sqrt{3}$，所以 $F(1,1,\sqrt{3})$； 在直线 $A_1{D}_1$ 的延长线上 $y=1$、$z=0$，代入平面方程得 $x=\sqrt{3}+1=h$，所以 $G(h,1,0)$．

（1）$\overrightarrow{AD}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{C_{1}G}=(h-1,1,0)=(\sqrt{3},1,0)$．设异面直线 $AD$ 与 $C_{1}G$ 所成角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{C_{1}G}|}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{C_{1}G}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2},$ 故 $\theta =\frac{\pi }{6}$．

（2）平面 $A{C}_{1}G$ 即平面 $AE{C}_1$，其法向量为 $(1,-\sqrt{3},1)$；平面 $A_1{C}_{1}G$ 是底面，其法向量为 $(0,0,1)$．设二面角的平面角为 $\phi$，则 $\cos \phi =\frac{|(1,-\sqrt{3},1)\cdot (0,0,1)|}{\sqrt{1+3+1}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{5}},$ 从而 $\tan \phi =\frac{\sqrt{1-\frac{1}{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=2$，即二面角 $A-C_{1}G-A_1$ 的正切值为 $2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱柱二面角异面角

核心方法：以 $B_1$ 为原点建系，$h=\sqrt{3}+1$：$A_1(0,1,0),C_1(1,0,0),A(0,1,h),D(1,1,h),E(0,0,1)$；平面 $AE{C}_1$ 法向量 $(1,-\sqrt{3},1)$，方程 $x-\sqrt{3}y+z-1=0$；得 $F(1,1,\sqrt{3}),G(h,1,0)$；(1) $\overrightarrow{AD}=(1,0,0),\overrightarrow{C_{1}G}=(\sqrt{3},1,0)$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{6}$；(2) 二面角正切 $2$

避坑指南：建系求交点 $F,G$（分别落在 $D{D}_1$、$A_1{D}_1$ 延长线）；异面角取锐角；二面角用法向量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 正四棱柱异面角与二面角，空间向量

结论推广: 建系求平面方程、交点坐标，用法向量求角

方法推广: 异面角取锐角、二面角用法向量夹角（注意正切）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-天津文-19 解-四棱锥垂直与二面角
• 2008-江西文-20 解-线面垂直与二面角
• 2008-湖北文-18 解-直三棱柱垂直与角