2003-大纲文-12 单-正四面体外接球

本题导读

本题考查正四面体的外接球，重点在于借助内接正方体求球半径。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()

A. $3\pi$　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　C. $3\sqrt{3}\pi$　　　　　　　D. $6\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 棱长 $\sqrt{2}$ 的正四面体，其内接正方体棱长为 $1$。
2. 正方体体对角线为球直径 $2R=\sqrt{3}$，$R=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. 表面积 $4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{3}{4}=3\pi$，选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体可内接一个棱长为 $1$ 的正方体（正方体体对角线为球直径）．球半径 $R=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故球的表面积 $S=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{3}{4}=3\pi$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四面体外接球
2. 核心方法：正四面体棱长 $s=\sqrt{2}$，内接正方体棱长 $1$，正方体体对角线为球直径 $2R=\sqrt{3}$，$R=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$S=4\pi R^2=3\pi$
3. 避坑指南：正四面体内接正方体（体对角线为球直径）；$R=\frac{\sqrt{3}}{2}$，表面积 $4\pi R^2=3\pi$，勿把半径平方算错

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正四面体与球，教材”立体几何”
2. 结论推广: 一般化：正四面体内接正方体，正方体体对角线为球直径；内接正方体求球半径，再求表面积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-10 单-正四面体心距比例
• 2004-湖北文-06 单-四面体重心相似
• 2006-山东文-08 单-正方体内外接球