2003-大纲文-03 单-抛物线准线方程

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与准线方程。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 抛物线 $y=a{x}^2$ 的准线方程是 $y=2$，则 $a$ 的值为()

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　　B. $-\frac{1}{8}$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $-8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=a{x}^2$ 即 $x^2=\frac{1}{a}y$。
2. 与 $x^2=2py$ 对照，$2p=\frac{1}{a}$，准线 $y=-\frac{p}{2}$。
3. $-\frac{p}{2}=2$ 得 $p=-4$，$\frac{1}{a}=2p=-8$，$a=-\frac{1}{8}$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y=a{x}^2$ 化为标准方程 $x^2=\frac{1}{a}y$，与 $x^2=2py$ 对照得 $2p=\frac{1}{a}$，其准线为 $y=-\frac{p}{2}$.由准线 $y=2$ 得 $-\frac{p}{2}=2$，即 $p=-4$，故 $\frac{1}{a}=2p=-8$，$a=-\frac{1}{8}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线准线方程
2. 核心方法：$y=a{x}^2$ 即 $x^2=\frac{1}{a}y$，与 $x^2=2py$ 对照 $2p=\frac{1}{a}$，准线 $y=-\frac{p}{2}=2$，得 $p=-4$，$a=-\frac{1}{8}$
3. 避坑指南：$x^2=2py$ 准线 $y=-\frac{p}{2}$；开口向下时 $p<0$，勿把 $\frac{1}{a}$ 与 $2p$ 关系弄反

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线的标准方程，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$x^2=2py$ 准线 $y=-\frac{p}{2}$，开口方向定 $p$ 符号；把一般式化成标准式对照求 $p$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-08 单-抛物线准线与斜率范围
• 2004-北京春文-06 单-抛物线焦半径
• 2005-北京卷文-09 填-抛物线准线与焦点