2004-北京春文-06 单-抛物线焦半径

本题导读

本题考查抛物线的焦半径，以及参数的求解。

📌【题干】

Question

在抛物线 $y^2=2px$ 上，横坐标为 $4$ 的点到焦点的距离为 $5$，则 $p$ 的值为（　　） A. $\frac{1}{2}$　B. $1$ C. $2$　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抛物线 $y^2=2px$ 上横坐标 $x_0$ 的点到焦点距离 $=x_0+\frac{p}{2}$。
2. $4+\frac{p}{2}=5$。
3. 得 $p=2$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设抛物线上横坐标为 $4$ 的点为 $P(4,y)$，由 $y^2=2px$ 得 $y^2=8p$．抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，由 $PF=5$ 得 ${\left(4-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2=25$．代入 $y^2=8p$ 得 ${\left(4-\frac{p}{2}\right)}^2+8p=25$，即 $p^2+16p-36=0$，解得 $p=2$ 或 $p=-18$．因 $y^2=8p⩾0$，故 $p⩾0$，从而 $p=2$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦半径

核心方法：横坐标 $4$ 的点到焦点距离 $=4+\frac{p}{2}=5$，$p=2$

避坑指南：抛物线 $y^2=2px$ 上点 $(x_0,y_0)$ 到焦点距离 $=x_0+\frac{p}{2}$（焦半径）；$4+\frac{p}{2}=5$ 得 $p=2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于抛物线的焦半径，教材”圆锥曲线”

结论推广：一般化：$y^2=2px$ 上点 $(x_0,y_0)$ 到焦点距离 $=x_0+\frac{p}{2}$

方法推广：直接套焦半径公式解 $p$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-07 单-抛物线焦点弦中点距离
• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2005-北京卷文-09 填-抛物线准线与焦点

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