2003-北京卷理-03 单-常用逻辑用语

本题导读

本题考查三角方程的解集特征以及充分条件、必要条件的逻辑判定。核心意图在于测试学生利用三角函数周期性准确求解三角方程，并通过比较前设条件与后设条件的解集包含关系，判定其在逻辑充要结构中的位置。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 3. “$\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$”是“$\alpha =k\pi +\frac{5\pi }{12},k\in \mathbf{Z}$”的()

A. 必要非充分条件　　　　　　　　　　B. 充分非必要条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一逻辑结构：将命题表述为“$p⟹q$”或“$q⟹p$”的形式。记条件 $p:\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$，条件 $q:\alpha =k\pi +\frac{5\pi }{12},k\in \mathbf{Z}$。
2. 求解条件 $p$ 的解集 $A$：解三角方程 $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据余弦函数的性质写出 $2\alpha$ 的通解，进而求出 $\alpha$ 的完整解集 $A$。
3. 分析条件 $q$ 的解集 $B$：直接提取条件 $q$ 中给出的 $\alpha$ 范围，其对应的解集记为 $B$。
4. 集合包含判定：

   • 若 $B⊊A$，说明由 $q$ 可推出 $p$，但由 $p$ 不能推出 $q$，则 $p$ 是 $q$ 的必要非充分条件。

   • 若 $A⊊B$，说明 $p$ 是 $q$ 的充分非必要条件。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解条件 $p$ 对应的解集 $A$ 已知方程为： $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$。 根据余弦函数的性质，当余弦值为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，其基本角为 $\pi \pm \frac{\pi }{6}$（即 $\frac{5\pi }{6}$ 或 $\frac{7\pi }{6}$）。 结合周期性， $2\alpha$ 的通解公式为： $2\alpha =2k\pi \pm \frac{5\pi }{6},k\in \mathbf{Z}$ 两边同时除以 2，解得 $\alpha$ 的完整解集 $A$ 为： $\alpha =k\pi \pm \frac{5\pi }{12},k\in \mathbf{Z}$ 也就是说，解集 $A=\left\{\alpha |\alpha =k\pi +\frac{5\pi }{12}\text{ 或 }\alpha =k\pi -\frac{5\pi }{12},k\in \mathbf{Z}\right\}$。

第二步：分析条件 $q$ 对应的解集 $B$ 已知条件 $q$ 对应的解集 $B$ 直接给定为： $B=\left\{\alpha |\alpha =k\pi +\frac{5\pi }{12},k\in \mathbf{Z}\right\}$

第三步：逻辑判定 比较解集 $A$ 与解集 $B$：

• 显然，集合 $B$ 是集合 $A$ 的真子集，即 $B⊊A$。

• 也就是说：

  • 由 $\alpha =k\pi +\frac{5\pi }{12}$ 成立（属于集合 $B$），必然能推出 $\alpha =k\pi \pm \frac{5\pi }{12}$ 成立（属于集合 $A$），即 $q⟹p$ 成立（充分性属于后设对前设）；
  • 反之，由 $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 成立时， $\alpha$ 还有可能等于 $k\pi -\frac{5\pi }{12}$（不属于集合 $B$），即 $p⟹q$ 不成立。

• 按照题目表述语境，“$p$” 是 “$q$” 的什么条件：由于 $q⟹p$ 且 $p\xcancel{⟹}q$，故 $p$ 是 $m$ 的必要非充分条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元三角方程的多解通解公式；真子集包含关系在逻辑条件判别中的精准映射。
2. 核心方法：集合包含判定法。
3. 避坑指南：

   • 余弦通解负号漏项陷阱：在解 $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，部分学生容易习惯性地写成单一解 $2\alpha =2k\pi +\frac{5\pi }{6}$，漏掉了 $\pm$ 中的负号分支。余弦方程 $\cos x=m$ 的通解必然包含 $\pm$ 双分支，正弦方程 $\sin x=m$ 的通解为 $k\pi +(-1{)}^k\varphi$，切忌漏项。

   • 主被动语境搞反陷阱：充分必要条件的命题往往有“ $p$ 是 $q$ 的条件”和“使 $q$ 成立的 $p$ 是什么条件”两种。本题问“ $p$ 是 $q$ 的什么条件”，由于 $q⟹p$，所以 $p$ 是被推导出的结果，即为必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属三角方程与充要条件判定的基础题，考查三角方程的解集与其某分支解集之间的包含关系。

2. 结论推广: 【正余弦有心方程逻辑判定定理】 对于形如条件 $p:\cos (n\alpha )=m(|m|<1)$ 与条件 $q:\alpha =\frac{2k\pi +\arccos m}{n},k\in \mathbf{Z}$：

• 方程 $p$ 的完整解集原像为 $A=\left\{\alpha |\alpha =\frac{2k\pi \pm \arccos m}{n},k\in \mathbf{Z}\right\}$；
• 条件 $q$ 的单分支解集为 $B=\left\{\alpha |\alpha =\frac{2k\pi +\arccos m}{n},k\in \mathbf{Z}\right\}$。
• 无论 $n$ 和 $m$ 如何变换，只要满足 $|m|<1$，恒有解集关系 $B⊊A$。 因此，条件 $p$（完整方程）恒为条件 $q$（单号分支）的必要非充分条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-08 单-充要条件判定
• 2004-重庆文-07 单-充分不必要条件
• 2006-安徽文-04 单-充分不必要条件