2003-北京卷理-01 单-集合的基本运算

本题导读

本题考查集合的交集运算以及一元二次不等式、对数不等式的求解。核心意图在于测试学生对对数函数定义域这一隐性约束的掌握，以及准确求解基本不等式并完成集合求交集的能力。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)）

1. 设集合 $A=\{x|x^2-1>0\}$， $B=\{x|{\log }_{2}x>0\}$， $A\cap B$ 等于()

A. $\{x|x>1\}$　　B. $\{x|x>0\}$　　C. $\{x|x<-1\}$　　D. $\{x|x<-1\text{ 或 }x>1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解一元二次不等式 $x^2-1>0$，利用因式分解确定集合 $A$ 的取值范围。

2. 解对数不等式 ${\log }_{2}x>0$，需同时考虑底数大于 1 时的单调性与真数大于 0 的定义域限制，确定集合 $B$ 的取值范围。

3. 根据交集的定义，在数轴上提取集合 $A$ 与集合 $B$ 的公共部分，对照选项得出结论。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简集合 $A$ 由 $x^2-1>0⟹(x-1)(x+1)>0$， 解得 $x<-1$ 或 $x>1$。 所以，集合 $A=\{x|x<-1\text{ 或 }x>1\}$。

第二步：化简集合 $B$ 由对数不等式 ${\log }_{2}x>0$， 首先真数限制要求 $x>0$。 其次底数 $2>1$，由对数函数单调递增性， ${\log }_{2}x>{\log }_{2}1⟹x>1$。 结合定义域，解得 $x>1$。 所以，集合 $B=\{x|x>1\}$。

第三步：求交集 $A\cap B$ 提取集合 $A$ 与集合 $B$ 的公共部分： $A\cap B=\{x|x<-1\text{ 或 }x>1\}\cap \{x|x>1\}=\{x|x>1\}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式两端开解法；对数函数单调性的同底转化；集合交集的元素提取。
2. 核心方法：集合运算解析法。
3. 避坑指南：

   • 对数定义域遗漏陷阱：虽然本题中 ${\log }_{2}x>0⟹x>1$ 自动涵盖了真数严格大于 0 的要求，但在处理复杂对数不等式时，必须优先写出定义域限制。

   • 集合运算符号混淆陷阱：求 $A\cap B$ 时需取公共缩减区域，避免因粗心错看为并集 “$\cup$” 而误选 (D)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考试卷第一题位置的基础集合运算问题，直接考查一元二次不等式与对数不等式解集的交集。

2. 结论推广: 【定义域关联型交集定理】 设集合 $A=\{x|x^2-m^2>0\}(m>0)$，集合 $B=\{x|{\log }_{a}x>0\}(a>1)$。

• 易知 $A=(-\infty ,-m)\cup (m,+\infty )$。
• $B=(1,+\infty )$。 则集合 $A\cap B$ 满足： $A\cap B=\{\begin{array}{ll}\{x|x>1\},& 0<m\le 1\\ \{x|x>m\},& m>1\end{array}$ 本题中 $m=1$，属于 $0<m\le 1$ 边界分支，故直接口算交集为 $\{x|x>1\}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III理-05 单-函数的定义域
• 2005-全国卷I文-08 单-对数复合不等式
• 2009-江西卷理-02 单-对数