2004-全国卷III理-05 单-函数的定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及对数不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 函数 $y=\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)}$ 的定义域为 ()

A. $[-\sqrt{2},-1)\cup (1,\sqrt{2}]$　　　　　　　　　　　　B. $(-\sqrt{2},-1)\cup (1,\sqrt{2})$

C. $[-2,-1)\cup (1,2]$　　　　　　　　　　　　D. $(-2,-1)\cup (1,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建不等式组：偶次根式下的被开方数必须大于或等于 0；对数函数的真数必须严格大于 0。
2. 求解不等式：利用底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$ 的对数函数单调递减性质，将对数不等式转化为关于真数的一元二次不等式。
3. 求交集：将两个不等式的解集在数轴上取交集，得出最终的定义域。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

要使函数 $y=\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)}$ 有意义，必须同时满足以下两个条件：

1. 偶次根式的被开方数非负： ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)⩾0$
2. 对数函数的真数大于零： $x^2-1>0$

由此列出不等式组： $\{\begin{array}{l}{\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)⩾0\text{（1）}\\ x^2-1>0\text{（2）}\end{array}$

解不等式（1）： 因为对数底数为 $\frac{1}{2}$，且 $0<\frac{1}{2}<1$，所以对数函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}t$ 在定义域上单调递减。 由 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)⩾{\log }_{\frac{1}{2}}1$ 转化不等号方向得： $x^2-1⩽1⟹x^2⩽2$ 解得： $-\sqrt{2}⩽x⩽\sqrt{2}$，即 $x\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。

解不等式（2）： $x^2-1>0⟹x^2>1$ 解得： $x>1$ 或 $x<-1$，即 $x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$．

将两者的解集在数轴上取交集： $\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}⩽x⩽\sqrt{2}\\ x>1\text{ 或 }x<-1\end{array}$ 可得： $-\sqrt{2}⩽x<-1$ 或 $1<x⩽\sqrt{2}$。

用区间形式表示为： $[-\sqrt{2},-1)\cup (1,\sqrt{2}]$。

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数定义域的常规限制条件、对数不等式的同底转化规则。
2. 核心方法：不等式组法。
3. 避坑指南：
   • 在解对数不等式 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)⩾0$ 时，务必时刻警惕底数是否小于 1。因为底数 $\frac{1}{2}<1$，去对数符号时必须改变不等号的方向，错漏此步会直接导致算出的范围完全错误。
   • 绝对不要漏掉“真数大于零”（即 $x^2-1>0$）这一隐含边界。若漏掉此条件，会将 $-1$ 和 $1$ 这两个开区间边界错误包含在内，导致错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数概念中经典的定义域综合求解基本题。
2. 结论推广: 对于形如 $y=\sqrt{{\log }_{a}f(x)}$ 的函数：
   • 当 $a>1$ 时，控制不等式组为 $\{\begin{array}{l}f(x)⩾1\\ f(x)>0\end{array}⟹f(x)⩾1$；
   • 当 $0<a<1$ 时，控制不等式组为 $\{\begin{array}{l}f(x)⩽1\\ f(x)>0\end{array}⟹0<f(x)⩽1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考理-25 解-对数不等式的求解
• 2003-北京卷理-01 单-集合的基本运算
• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件