2003-北京文-17 解-正三棱柱证明与距离

本题导读

本题考查正三棱柱中的线面关系。核心在于取中点构造平行四边形证明线线平行。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 如图，正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$AB=a$.

(1) 求证：直线 $A_{1}D\perp B_1{C}_1$；

(2) 求点 $D$ 到平面 $AC{C}_1$ 的距离；

(3) 判断 $A_{1}B$ 与平面 $AD{C}_1$ 的位置关系，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $B_1{C}_1\parallel BC$，而 $A_{1}D$ 在底面上的射影 $AD$ 是正三角形中线，$AD\perp BC$，结合 $A_{1}A\perp$ 底面可证 $A_{1}D\perp BC$。
2. (2) 作 $DE\perp AC$，利用面面垂直得 $DE\perp$ 平面 $AC{C}_1$。
3. (3) 取 $A_{1}C$ 中点 $F$，连 $DF$，证 $DF\parallel A_{1}B$。

✅【答案】

Success

(1) $A_{1}D\perp B_1{C}_1$；(2) 距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}a$；(3) $A_{1}B\parallel$ 平面 $AD{C}_1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $B_1{C}_1\parallel BC$，只需证 $A_{1}D\perp BC$.在正三角形 $ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 中点，则 $AD\perp BC$；又 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABC$，$AD$ 是 $A_{1}D$ 在底面内的射影，由三垂线定理得 $A_{1}D\perp BC$，故 $A_{1}D\perp B_1{C}_1$. (2) 作 $DE\perp AC$ 于点 $E$.因为 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，所以平面 $AC{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，其交线为 $AC$；又 $DE\subset$ 平面 $ABC$ 且 $DE\perp AC$，所以 $DE\perp$ 平面 $AC{C}_1$，即 $DE$ 的长为点 $D$ 到平面 $AC{C}_1$ 的距离。正三角形 $ABC$ 中，点 $B$ 到 $AC$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$D$ 为 $BC$ 中点，故 $DE=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a$. (3) 连结 $A_{1}C$ 交 $A{C}_1$ 于点 $F$，则 $F$ 为 $A_{1}C$ 的中点；又 $D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $DF\parallel A_{1}B$.又 $DF\subset$ 平面 $AD{C}_1$，$A_{1}B⊈$ 平面 $AD{C}_1$，所以 $A_{1}B\parallel$ 平面 $AD{C}_1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱柱证明与距离
2. 核心方法：(1) $A_{1}D\perp B_1{C}_1$（$B_1{C}_1\parallel BC$，$A_{1}D\perp BC$）；(2) 点 $D$ 到平面 $AC{C}_1$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}a$；(3) $A_{1}B\parallel$ 平面 $AD{C}_1$（取 $A_{1}C$ 中点 $F$，$DF\parallel A_{1}B$）
3. 避坑指南：线面平行先证线线平行；点面距可作垂线或等体积法

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材正棱柱的性质
2. 结论推广: 一般地，线面平行转化为线线平行；点面距可用等体积法；取中点构造平行四边形证线线平行

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-16 解-正三棱柱侧面展开
• 2004-浙江文-10 单-正三棱柱线面角
• 2007-福建文-19 解-正三棱柱垂直与二面角