2002-新课标理-21 解-平面向量的数量积坐标运算

本题导读

本题考查平面向量数量积与解析几何、数列的交叉综合应用。第一问通过引入点 $P$ 的坐标，将三个向量数量积表示为关于坐标的一元或二元解析式，利用等差中项及公差小于零的条件建立方程与不等式约束，确定动点 $P$ 的轨迹类型；第二问在第一问建立的轨迹曲线基础上，利用向量夹角公式和正切性质求解定量数值。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)）已知两点 $M (- 1, 0), N (1, 0)$ ，且点 $P$ 使 $M P \cdot M N, P M \cdot P N, N M \cdot N P$ 成公差小于零的等差数列.

(1)点 $P$ 的轨迹是什么曲线？

(2)若点 $P$ 坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，记 $θ$ 为 $P M$ 与 $P N$ 的夹角，求 $tan θ$ .

🔍【思路分析】

破题导航

第一问逻辑：

设动点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ 。已知 $M (- 1, 0), N (1, 0)$ ，写出基准向量 $M N = (2, 0)$ 和 $N M = (- 2, 0)$ 。

写出各动向量的坐标分量： $M P = (x + 1, y)$ ， $P M = (- 1 - x, - y)$ ， $P N = (1 - x, - y)$ ， $N P = (x - 1, y)$ 。

分别计算三个数量积： $A = M P \cdot M N$ ， $B = P M \cdot P N$ ， $C = N M \cdot N P$ 。

根据等差中项性质有 $2 B = A + C$ ，列出关于 $x, y$ 的方程，并结合公差 $d = B - A < 0$ 确定自变量 $x$ 的隐含截断区间，从而确定曲线具体的形状。

第二问逻辑：

由第一问求出的轨迹方程，可知 $x_{0}, y_{0}$ 满足的几何关联。

向量夹角公式满足 $cos θ = \frac{P M \cdot P N}{∣ P M ∣ \cdot ∣ P N ∣}$ 。

为了求 $tan θ$ ，可以先用坐标分别表示出数量积（已求得）和向量模长乘积。另一种高效方法是利用三角形或代数恒等式，将正切转化为斜率公式 $tan θ = \frac{k _{1} - k _{2}}{1 + k _{1} k _{2}}$ （注意结合点 $P$ 在曲线上的代数约束进行化简消元）。

✅【答案】

Success

(1) 点 $P$ 的轨迹是以原点为圆心、 $3$ 为半径的右半圆： $x^{2} + y^{2} = 3$ ， $x > 0$

(2) $tan θ = ∣ y_{0} ∣ = 3 - x_{0}^{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：确定点 $P$ 的轨迹方程与曲线类型

设动点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ 。已知 $M (- 1, 0), N (1, 0)$ ，可得各向量的坐标表示如下：

$M N = (1 - (- 1), 0 - 0) = (2, 0)$ ， $N M = (- 2, 0)$ ；

$M P = (x + 1, y)$ ；

$P M = (- 1 - x, - y)$ ， $P N = (1 - x, - y)$ ；

$N P = (x - 1, y)$ 。

分别计算这三个平面向量的数量积：

$A = M P \cdot M N = (x + 1) \times 2 + y \times 0 = 2 x + 2$

$B = P M \cdot P N = (- 1 - x) (1 - x) + (- y) (- y) = x^{2} - 1 + y^{2}$

$C = N M \cdot N P = (- 2) (x - 1) + 0 \times y = - 2 x + 2$

因为 $A, B, C$ 顺次成等差数列，根据等差中项定理： $2 B = A + C$ 代入各项的代数式： $2 (x^{2} - 1 + y^{2}) = (2 x + 2) + (- 2 x + 2)$ $2 x^{2} - 2 + 2 y^{2} = 4 ⟹ 2 x^{2} + 2 y^{2} = 6$ 化简得标准圆方程： $x^{2} + y^{2} = 3 (1)$

同时，题目要求该等差数列的公差小于零（ $d < 0$ ）。公差 $d = B - A = (x^{2} - 1 + y^{2}) - (2 x + 2) = x^{2} + y^{2} - 2 x - 3$ 。将 ① 式 $x^{2} + y^{2} = 3$ 代入公差表达式中： $d = 3 - 2 x - 3 = - 2 x$ 已知 $d < 0 ⟹ - 2 x < 0 ⟹ x > 0$ 。

综上所述，动点 $P$ 的坐标满足方程 $x^{2} + y^{2} = 3$ ，且受到区间 $x > 0$ 的严格限制。因此，点 $P$ 的轨迹是以原点为圆心、 $3$ 为半径的圆在 $y$ 轴右侧的半圆弧（不含与 $y$ 轴的交点）。

（2）解：求 $tan θ$ 的值

已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在该轨迹上，因此满足： $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 3 (其中 x_{0} > 0)$ $θ$ 为 $P M$ 与 $P N$ 的夹角，根据第一问的计算结论： $P M \cdot P N = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 1 = 3 - 1 = 2$

下面利用平面几何与代数结合求 $tan θ$ 。因为 $M (- 1, 0), N (1, 0)$ 均在 $x$ 轴上：

直线 $P M$ 的斜率为 $k_{1} = \frac{y _{0} - 0}{x _{0} - ( - 1 )} = \frac{y _{0}}{x _{0} + 1}$ ；

直线 $P N$ 的斜率为 $k_{2} = \frac{y _{0} - 0}{x _{0} - 1} = \frac{y _{0}}{x _{0} - 1}$ 。

由夹角公式，两直线夹角 $θ$ 的正切值满足： $tan θ = \frac{k _{2} - k _{1}}{1 + k _{1} k _{2}}$ 分别计算分子和分母：

分子： $k_{2} - k_{1} = \frac{y _{0}}{x _{0} - 1} - \frac{y _{0}}{x _{0} + 1} = \frac{y _{0} ( x _{0} + 1 ) - y _{0} ( x _{0} - 1 )}{x _{0}^{2} - 1} = \frac{2 y _{0}}{x _{0}^{2} - 1}$

分母： $1 + k_{1} k_{2} = 1 + \frac{y _{0}^{2}}{x _{0}^{2} - 1} = \frac{x _{0}^{2} - 1 + y _{0}^{2}}{x _{0}^{2} - 1}$ 将 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 3$ 代入分母的分子中： $1 + k_{1} k_{2} = \frac{3 - 1}{x _{0}^{2} - 1} = \frac{2}{x _{0}^{2} - 1}$

代入正切公式中，分母 $(x_{0}^{2} - 1)$ 自动约去： $tan θ = \frac{\frac{2 y _{0}}{x _{0}^{2} - 1}}{\frac{2}{x _{0}^{2} - 1}} = ∣ y_{0} ∣$ 因为 $P (x_{0}, y_{0})$ 在圆 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 3$ 上，所以 $∣ y_{0} ∣ = 3 - x_{0}^{2}$ 。

答： $tan θ = ∣ y_{0} ∣$ （或 $3 - x_{0}^{2}$ ）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量数量积的坐标展开式；等差数列公差限制范围的逆向求解；利用两直线斜率公式化简夹角正切。

核心方法：坐标代数解析法。

避坑指南：

等差公差范围遗漏陷阱：第一问中，很多学生通过 $2 B = A + C$ 极其顺利地解出圆方程 $x^{2} + y^{2} = 3$ 后便草率作答。必须严格扣中“公差小于零”这一隐性代数边界限制，推导出 $x > 0$ 。如果不写区间，轨迹的曲线类型判定分值将会被严重扣除。

夹角斜率法分母为零讨论陷阱：在第二问采用斜率公式时，隐含了 $x_{0} \pm 1 \neq = 0$ 。若点 $P$ 恰好在 $(1, \pm 2)$ 处导致直线垂直，可单独利用直角三角形特殊值校验，其正切规律依然完美收敛于 $∣ y_{0} ∣$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于椭圆（圆）焦点弦的向量数量积性质，以等差数列为壳考查轨迹方程与夹角，体现“向量—方程—几何”的综合。

结论推广: 对 $M (- c, 0), N (c, 0)$ ，若三数量积成公差小于零的等差数列，则 $P$ 的轨迹为 $x^{2} + y^{2} = 2 c^{2}$ 的右半圆，且 $tan θ = \frac{∣ y _{0} ∣}{c}$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

2006-四川文-04 单-向量数量积比较

2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值

2006-重庆文-08 单-向量模等求夹角

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