2002-新课标理-20 解-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义以及利用代数解析式证明不等式。第一问利用导数求出曲线上指定点处的切线斜率，进而写出切线方程；第二问利用切线与 $x$ 轴的交点横坐标 $x_2$ 的代数表达式，结合已知自变量 $x_1$ 的取值特征，通过构建一元二次函数关系及代数不等式链完成精确证明。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 已知 $a>0$，函数 $f(x)=\frac{1-ax}{x},x\in (0,+\infty )$. 设 $0<x_1<\frac{2}{a}$，记曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_1,f(x_1))$ 处的切线为 $l$.

(1)求 $l$ 的方程；

(2)设 $l$ 与 $x$ 轴交点为 $(x_2,0)$. 证明： ① $0<x_2\le \frac{1}{a}$； ② 若 $x_1<\frac{1}{a}$，则 $x_1<x_2<\frac{1}{a}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问逻辑：先将函数化简为 $f(x)=\frac{1}{x}-a$，对其求导得 $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$。在点 $M(x_1,f(x_1))$ 处的切线斜率 $k=f^{\prime }(x_1)=-\frac{1}{x_1^2}$，切点纵坐标 $f(x_1)=\frac{1-a{x}_1}{x_1}$。套用点斜式方程即可求出切线 $l$ 的方程。
2. 第二问 ① 逻辑：令切线方程中的 $y=0$，解出交点横坐标 $x_2$ 关于 $x_1$ 的表达式。将 $x_2$ 的代数式变形，结合已知条件 $0<x_1<\frac{2}{a}$，分别论证其大于 0 且小于等于 $\frac{1}{a}$ 的不等式边界。
3. 第二问 ② 逻辑：在 $x_1<\frac{1}{a}$ 的前提下，通过作差法比较 $x_2-x_1$ 的符号判定左侧不等式；再通过观察 $x_2$ 的代数结构或利用均值不等式判定其与 $\frac{1}{a}$ 的大小关系。

✅【答案】

Success

(1) $y-\frac{1-a{x}_1}{x_1}=-\frac{1}{x_1^2}(x-x_1)$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求 $l$ 的方程 已知函数 $f(x)=\frac{1-ax}{x}=\frac{1}{x}-a(x>0)$。 对其求导，得： $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ 将切点横坐标 $x_1$ 代入，得切线 $l$ 的斜率为： $k=f^{\prime }(x_1)=-\frac{1}{x_1^2}$ 切点 $M$ 的纵坐标为： $f(x_1)=\frac{1-a{x}_1}{x_1}$ 根据直线的点斜式方程，切线 $l$ 的方程为： $y-\frac{1-a{x}_1}{x_1}=-\frac{1}{x_1^2}(x-x_1)$ 方程两边同时乘以 $x_1^2$ 展开去分母： $x_1^{2}y-x_1(1-a{x}_1)=-(x-x_1)$ $x_1^{2}y-x_1+a{x}_1^2=-x+x_1$ 整理移项得切线 $l$ 的一般式方程为： $x+x_1^{2}y+a{x}_1^2-2x_1=0$

答：切线 $l$ 的方程为 $x+x_1^{2}y+a{x}_1^2-2x_1=0$ （或写为 $y=-\frac{1}{x_1^2}x+\frac{2-a{x}_1}{x_1}$）。

（2）证明：

① 证明 $0<x_2\le \frac{1}{a}$ 令切线 $l$ 的方程中 $y=0$，得： $x_2+x_1^2\cdot 0+a{x}_1^2-2x_1=0⟹x_2=2x_1-a{x}_1^2$ 将右侧变形为关于 $x_1$ 的二次函数结构： $x_2=-a\left(x_1^2-\frac{2}{a}{x}_1\right)=-a{\left(x_1-\frac{1}{a}\right)}^2+\frac{1}{a}$

• 先证左侧 $0<x_2$： 将 $x_2$ 提取公因式： $x_2=x_1(2-a{x}_1)$。 已知 $0<x_1<\frac{2}{a}$：

• 由 $x_1>0$ 得前项为正；

• 由 $x_1<\frac{2}{a}⟹a{x}_1<2⟹2-a{x}_1>0$ 得后项为正。 两个正数相乘，必有 $x_2=x_1(2-a{x}_1)>0$。

• 再证右侧 $x_2\le \frac{1}{a}$： 因为 $a>0$，且 $x_2=-a{\left(x_1-\frac{1}{a}\right)}^2+\frac{1}{a}$。 根据二次函数的性质，由于平方项 ${\left(x_1-\frac{1}{a}\right)}^2\ge 0$，则 $-a{\left(x_1-\frac{1}{a}\right)}^2\le 0$。 当且仅当 $x_1=\frac{1}{a}$ 时（由已知 $\frac{1}{a}<\frac{2}{a}$，该点在取值范围内），取得最大值 $\frac{1}{a}$。 所以， $x_2\le \frac{1}{a}$ 恒成立。

综上所述， $0<x_2\le \frac{1}{a}$ 得证。

② 证明若 $x_1<\frac{1}{a}$，则 $x_1<x_2<\frac{1}{a}$

已知 $0<x_1<\frac{1}{a}$。

• 先证左侧 $x_1<x_2$： 使用作差法比较大小： $x_2-x_1=(2x_1-a{x}_1^2)-x_1=x_1-a{x}_1^2=x_1(1-a{x}_1)$ 因为 $0<x_1<\frac{1}{a}$：

• $x_1>0$；

• $x_1<\frac{1}{a}⟹a{x}_1<1⟹1-a{x}_1>0$。 所以 $x_2-x_1=x_1(1-a{x}_1)>0⟹x_1<x_2$。

• 再证右侧 $x_2<\frac{1}{a}$： 由 ① 中配方结论知： $x_2=-a{\left(x_1-\frac{1}{a}\right)}^2+\frac{1}{a}$。 当 $x_1<\frac{1}{a}$ 时， $x_1-\frac{1}{a}\ne 0$，则 ${\left(x_1-\frac{1}{a}\right)}^2>0$。 因为 $a>0$，所以 $-a{\left(x_1-\frac{1}{a}\right)}^2<0$。 由此可得： $x_2=-a{\left(x_1-\frac{1}{a}\right)}^2+\frac{1}{a}<0+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}$ 即 $x_2<\frac{1}{a}$。

综上所述，若 $x_1<\frac{1}{a}$，则 $x_1<x_2<\frac{1}{a}$ 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义的基本功（切线方程构建）；一元二次函数最值的配方法应用；利用因式分解与已知区间进行不等式保号性证明。
2. 核心方法：作差法、配方法。
3. 避坑指南：

• 分式求导粗心陷阱：第一问对 $f(x)=\frac{1-ax}{x}$ 求导时，如果直接用分式求导法则（ $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ ），由于符号较多，极易将 $-a\cdot x-(1-ax)\cdot 1$ 分子项中的负号算错。推荐先拆分成 $f(x)=\frac{1}{x}-a$ 再单独对常数和幂函数求导，可确保万无一失。
• 严格不等号与等号的混淆陷阱：在证明 ② 时，题目给出的条件是 $x_1<\frac{1}{a}$（严格小于），因此在最终判定 $x_2$ 与 $\frac{1}{a}$ 的大小关系时，平方项不等于 0，必须去掉 ① 中的等号，严格写作 $x_2<\frac{1}{a}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数几何意义与切线方程，背景是牛顿迭代法求 $f(x)=\frac{1}{x}-a$ 的零点 $\frac{1}{a}$，$x_2=2x_1-a{x}_1^2$ 即迭代格式，考查函数与方程思想。

2. 结论推广: 一般地，对 $f(x)=\frac{1}{x}-a$，由 $x_{n+1}=2x_n-a{x}_n^2$ 迭代，当 $0<x_1<\frac{2}{a}$ 时恒有 $0<x_{n+1}\le \frac{1}{a}$；当 $x_1<\frac{1}{a}$ 时数列 $\{x_n\}$ 单调递增趋于 $\frac{1}{a}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-03 单-三次函数切线方程
• 2004-湖南文-13 填-导数求切线
• 2004-重庆文-15 填-导数求切线方程