2002-新课标文-19乙 解-面面垂直动点距离

本题导读

本题考查面面垂直与空间向量。核心在于参数化双动点求距离最值。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 【乙】如图，正方形 $ABCD$、$ABEF$ 的边长都是 $1$，而且平面 $ABCD$、平面 $ABEF$ 互相垂直.点 $M$ 在 $AC$ 上移动，点 $N$ 在 $BF$ 上移动，若 $CM=BN=a$（$0<a<\sqrt{2}$）.

(1) 求 $MN$ 的长；

(2) $a$ 为何值时，$MN$ 的长最小；

(3) 当 $MN$ 的长最小时，求面 $MNA$ 与面 $MNB$ 所成二面角 $\alpha$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 建系写出 $A,B,C,D,E,F$，由 $CM=BN=a$ 定 $M,N$ 坐标。
2. $M{N}^2$ 化二次函数求最小；法向量求二面角。

✅【答案】

Success

(1) $MN=\sqrt{{\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}}$

(2) $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $MN$ 最小为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\alpha =\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 建系取 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，$E(1,0,1)$，$F(0,0,1)$，平面 $ABCD$ 为 $z=0$、平面 $ABEF$ 为 $y=0$．由 $|AC|=|BF|=\sqrt{2}$ 且 $CM=BN=a$，得 $M=C+\frac{a}{\sqrt{2}}\overrightarrow{CA}=\left(1-\frac{a}{\sqrt{2}},1-\frac{a}{\sqrt{2}},0\right)$，$N=B+\frac{a}{\sqrt{2}}\overrightarrow{BF}=\left(1-\frac{a}{\sqrt{2}},0,\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$．于是 $M{N}^2={\left(1-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2={\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}$，故 $MN=\sqrt{{\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}}$． (2) 当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $MN$ 取得最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$． (3) 此时 $M\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$，$N\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$，取平面 $MNA$、$MNB$ 的法向量分别为 ${\mathbf{n}}_1=(1,-1,-1)$、${\mathbf{n}}_2=(1,1,1)$，则 $\cos \alpha =\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=-\frac{1}{3}$，故二面角 $\alpha =\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直动点距离

核心方法：建系 $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(1,0,1),F(0,0,1)$，由 $CM=BN=a$ 定 $M,N$，$M{N}^2={\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}$，最小在 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：双动点用同一参数表示，距离平方化二次函数求最小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材面面垂直与空间向量

结论推广：一般地，双动点用同一参数表示后求距离最值

方法推广：参数化动点，距离平方配方法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-21 解-面面垂直与线面角
• 2007-北京文-17 解-面面垂直与异面角
• 2004-浙江文-15 填-面面垂直距离