2004-浙江文-15 填-面面垂直距离

本题导读

本题考查面面垂直下的距离，以及把空间距离化归为平面直角三角形。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 已知平面 $\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta =l$，$P$ 是空间一点，且 $P$ 到 $\alpha$、$\beta$ 的距离分别是 $1$、$2$，则点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 过 $P$ 作垂直于交线 $l$ 的平面，截 $\alpha$、$\beta$ 得两条互相垂直的直线。
2. 两直线交点为该截平面与 $l$ 的交点。
3. $P$ 到两直线距离 $1$、$2$，到交点距离 $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

在过点 $P$ 且垂直于交线 $l$ 的平面内，平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 截得两条互相垂直的直线，它们的交点为该截平面与 $l$ 的交点。点 $P$ 到这两条直线的距离分别为 $1$、$2$，因此点 $P$ 到交点的距离为 $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，即点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $\sqrt{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直距离
2. 核心方法：过 $P$ 作垂直于交线 $l$ 的平面，截 $\alpha ,\beta$ 得两条互相垂直的直线；$P$ 到两直线距离 $1,2$，故 $P$ 到交点距离 $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
3. 避坑指南：利用”过 $P$ 且垂直于 $l$ 的平面”把三维距离化到二维直角三角形；两距离作直角边求斜边

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于面面垂直与距离，教材”空间点线面”
2. 结论推广: 一般化：垂直平面截交线的垂面，距离化为直角三角形斜边；用垂面把空间距离转化到平面，勾股定理求斜边

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.04 空间向量求距离

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II文-07 单-面面垂直求射影线段
• 2007-四川文-19 解-面面垂直二面角与体积
• 2008-山东文-19 解-四棱锥面面垂直与体积