2002-大纲理-04 单-三角不等式

本题导读

本题考查基本三角不等式的求解。核心意图在于测试学生利用数形结合思想，通过正弦函数与余弦函数在一个周期 $(0,2\pi )$ 内的图象位置关系或单位圆中三角函数线的长短，快速精确判定交点边界并解出不等式的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 在 $(0,2\pi )$ 内，使 $\sin x>\cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是 ()

A. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$　　B. $\left(\frac{\pi }{4},\pi \right)$　　C. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$　　D. $\left(\frac{\pi }{4},\pi \right)\cup \left(\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right)$

🔍【思路分析】

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1. 方法一（图象法）：在同一个直角坐标系中，画出 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 在 $(0,2\pi )$ 区间内的函数图象。寻找正弦曲线位于余弦曲线上方（即交点之间）的 $x$ 轴区间。
2. 方法二（单位圆法）：在平面直角坐标系中构造单位圆。依据定义，圆上动点的纵坐标代表 $\sin x$，横坐标代表 $\cos x$。不等式 $\sin x>\cos x$ 等价于寻找圆上满足纵坐标大于横坐标（即位于直线 $y=x$ 上方）的圆弧所对应的圆心角范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：图象交点法（数形结合）

首先，求解在 $(0,2\pi )$ 内 $y=\sin x$ 与 $y=\cos x$ 图象的交点横坐标，即令： $\sin x=\cos x⟹\tan x=1$ 在区间 $(0,2\pi )$ 内，满足 $\tan x=1$ 的解有两个： $x_1=\frac{\pi }{4},x_2=\frac{5\pi }{4}$

这两个交点将区间 $(0,2\pi )$ 划分为三个子区间：

1. 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 时，余弦图象在正弦图象上方， $\sin x<\cos x$；
2. 当 $x\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$ 时，正弦图象在余弦图象上方， $\sin x>\cos x$；
3. 当 $x\in \left(\frac{5\pi }{4},2\pi \right)$ 时，余弦图象在正弦图象上方， $\sin x<\cos x$。

综上所述，使 $\sin x>\cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$。

方法二：单位圆直观判定法

在平面直角坐标系中引入直线 $y=x$，该直线与单位圆的交点对应的方位角分别为 $\frac{\pi }{4}$ 和 $\frac{5\pi }{4}$。

• 不等式 $\sin x>\cos x$ 在单位圆中代表动点 $P(\cos x,\sin x)$ 的坐标满足 $y>x$。
• 几何平面上，满足 $y>x$ 的点集位于直线 $y=x$ 的左上方。
• 逆时针扫描整个单位圆，从第一象限的射线 $x=\frac{\pi }{4}$ 开始进入直线左上方区域，一直连续延伸穿过第二象限，直到第三象限的射线 $x=\frac{5\pi }{4}$ 离开该区域。

因此，对应的弧段所对应的圆心角区间严格为 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦与余弦曲线的相对位置关系；特殊三角方程的根。
2. 核心方法：数形结合法、单位圆弧度剖分法。
3. 避坑指南：

• 象限符号定势陷阱：部分学生容易孤立地认为“只有在第一象限正弦才可能大于余弦”，从而错选为 (A) 或 (B)。必须明确，在第二象限内，正弦为正、余弦为负，不等式 $\sin x>\cos x$ 显然极其严格地成立。因此，从 $\frac{\pi }{4}$ 到 $\frac{5\pi }{4}$ 的整个跨象限区间是完全连续不间断的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考三角函数板块的传统高频必考基础题，旨在绕开复杂的代数变形，直接考查基本的图形直观认知。
2. 结论推广： 对于更为复杂的三角不等式 $\sin x-\cos x>0$，可利用辅助角公式将其统一积化为一个三角函数： $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)>0⟹\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)>0$ 令 $2k\pi <x-\frac{\pi }{4}<2k\pi +\pi (k\in \mathbf{Z})$，移项即得通用通解集： $2k\pi +\frac{\pi }{4}<x<2k\pi +\frac{5\pi }{4}$ 当 $k=0$ 时，即为本题在已知区间 $(0,2\pi )$ 内的特解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-06 单-由图象定三角函数
• 1977-甘肃-01 解-数的大小比较四问
• 1986-上海文-14 单-三角函数值大小比较