2006-四川文-06 单-由图象定三角函数

本题导读

本题考查三角函数，以及图象。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 下列函数中，图象的一部分如图所示的是()

A. $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$　　　B. $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$　　　C. $y=\cos \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)$　　　D. $y=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 图中最高点 $(\frac{\pi }{12},1)$，最低点，相邻对称轴间距给出周期 $\pi$，故 $\omega =2$。
2. 在 $x=-\frac{\pi }{6}$ 处取到最大值 $1$（图象左端为峰），是余弦型平移。
3. 检验：$y=\cos (2x-\frac{\pi }{6})$，$x=\frac{\pi }{12}$ 时 $\cos (\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6})=\cos 0=1$ ✓，$x=-\frac{\pi }{6}$ 时 $\cos (-\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6})=\cos (-\frac{\pi }{2})=0$ 对应零点。
4. 选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由图象可见，函数在 $x=\frac{\pi }{12}$ 处取得最大值 $1$，且相邻最高点与最低点的水平距离对应周期的一半 $\frac{\pi }{2}$，故周期 $\pi$，角频率 $\omega =\frac{2\pi }{\pi }=2$． 检验选项 D：$y=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$． 当 $x=\frac{\pi }{12}$ 时，$2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=0$，$y=\cos 0=1$ 为最大值； 当 $x=-\frac{\pi }{6}$ 时，$2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$，$y=0$ 为零点．与图象吻合，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由图象定三角函数

核心方法：由图象过点 $(-\frac{\pi }{6},0)$、$(\frac{\pi }{12},1)$ 代入检验，得 $y=\cos (2x-\frac{\pi }{6})$

避坑指南：先看周期与零点定角频率 $\omega =2$，再用特殊点定初相；$\sin$ 与 $\cos$ 相位差 $\frac{\pi }{2}$ 勿混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 由部分图象反推函数解析式

结论推广: $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 中 $\omega$ 由周期定、$\phi$ 由特殊点定

方法推广: 取图中明确的点代入检验，排除法高效

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-09 单-三角图象平移
• 2008-浙江文-07 单-三角图象交点
• 2008-福建文-07 单-三角图象平移
• 2009-天津文-07 单-三角图象平移对称