2002-苏豫粤卷-04 单-三角函数的不等式求解

本题导读

本题考查基础三角不等式的求解，主要通过比较同一区间内正弦函数与余弦函数值的大小，旨在考查学生的数形结合能力与基本运算能力。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 在 $(0,2\pi )$ 内，使 $\sin x>\cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是().

A. $(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})\cup (\pi ,\frac{5\pi }{4})$　　B. $(\frac{\pi }{4},\pi )$　　C. $(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4})$　　D. $(\frac{\pi }{4},\pi )\cup (\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定交点位置：在区间 $(0,2\pi )$ 内，方程 $\sin x=\cos x$（即 $\tan x=1$）的解为 $x_1=\frac{\pi }{4}$ 和 $x_2=\frac{5\pi }{4}$。这两个点将区间分为三部分。
2. 结合图象或单位圆判定：在同一坐标系中画出 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 在 $(0,2\pi )$ 上的图象，观察正弦曲线在余弦曲线上方对应的 $x$ 的区间。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解法一（图象法）： 在同一平面直角坐标系中，作出 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 在 $x\in (0,2\pi )$ 上的图象。 两条曲线在 $(0,2\pi )$ 内的交点横坐标分别为 $x=\frac{\pi }{4}$ 和 $x=\frac{5\pi }{4}$。 由图象可知，当 $x\in (\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4})$ 时，正弦曲线 $y=\sin x$ 严格位于余弦曲线 $y=\cos x$ 的上方。 因此，使 $\sin x>\cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4})$。

解法二（代数变形法）： 不等式 $\sin x>\cos x$ 可变形为 $\sin x-\cos x>0$。 利用辅助角公式得： $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)>0⟹\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)>0$ 因为 $x\in (0,2\pi )$，所以 $x-\frac{\pi }{4}\in (-\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4})$。 在正弦函数的一个周期内，要使正弦值大于0，需满足： $0<x-\frac{\pi }{4}<\pi$ 解得： $\frac{\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦、余弦函数在各个象限的符号特征及大小关系。

2. 核心方法：数形结合法（通过单位圆中的三角函数线或平面直角坐标系中的函数图象直观求解）。

3. 避坑指南：部分考生易盲目两边平方导致增根，或在两边同除以 $\cos x$ 时忽略了 $\cos x$ 的正负号而导致解集出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对“正弦函数和余弦函数图象”的基本比较，是高考中对三角函数基本性质考查的经典常青题型。
2. 结论推广：在 $(0,2\pi )$ 内，$\sin x$ 与 $\cos x$ 的大小关系规律为：

• 当 $x\in (\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4})$ 时，$\sin x>\cos x$；
• 当 $x\in (0,\frac{\pi }{4})\cup (\frac{5\pi }{4},2\pi )$ 时，$\sin x<\cos x$；
• 当 $x=\frac{\pi }{4}$ 或 $x=\frac{5\pi }{4}$ 时，$\sin x=\cos x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-06 单-由图象定三角函数
• 1977-甘肃-01 解-数的大小比较四问
• 1986-上海文-14 单-三角函数值大小比较