2002-北京卷文-21 解-三角形重心外心垂心

本题导读

本题考查三角形的重心、外心、垂心。核心在于坐标表示并证明三点共线。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） 已知 $O(0,0)$，$B(1,0)$，$C(b,c)$（$c\ne 0$）是 $△OBC$ 的三个顶点.

(1) 写出 $△OBC$ 的重心 $G$，外心 $F$，垂心 $H$ 的坐标，并证明 $G$，$F$，$H$ 三点共线；

(2) 当直线 $FH$ 与 $OB$ 平行时，求顶点 $C$ 的轨迹.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别求重心、外心、垂心坐标。
2. 证共线，再由 $FH\parallel OB$ 求轨迹。

✅【答案】

Success

(1) $G\left(\frac{b+1}{3},\frac{c}{3}\right)$，$F\left(\frac{1}{2},\frac{b^2+c^2-b}{2c}\right)$，$H\left(b,\frac{b-b^2}{c}\right)$，三点共线

(2) 椭圆（去掉四点）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 重心 $G\left(\frac{b+1}{3},\frac{c}{3}\right)$；外心 $F$ 满足到 $O,B,C$ 距离相等，得 $F\left(\frac{1}{2},\frac{b^2+c^2-b}{2c}\right)$；垂心 $H$ 满足 $CH\perp OB$ 且 $BH\perp OC$，得 $H\left(b,\frac{b-b^2}{c}\right)$．由三点坐标可验证 $G,F,H$ 共线（欧拉线）． (2) 当 $FH\parallel OB$ 时，$F$ 与 $H$ 纵坐标相等，即 $\frac{b^2+c^2-b}{2c}=\frac{b-b^2}{c}$，化简得 $3b^2-3b+c^2=0$，即 ${\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{c^2}{3}=\frac{1}{4}$，故顶点 $C$ 的轨迹是椭圆 $\frac{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=1$（除去 $O,B$ 及上下顶点四点）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形重心外心垂心

核心方法：$G\left(\frac{b+1}{3},\frac{c}{3}\right)$、$F\left(\frac{1}{2},\frac{b^2+c^2-b}{2c}\right)$、$H\left(b,\frac{b-b^2}{c}\right)$，三点共线；$FH\parallel OB$ 时轨迹为椭圆

避坑指南：重心外心垂心坐标与共线证明，轨迹椭圆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角形的心

结论推广：一般地，重心外心垂心共线（欧拉线）

方法推广：坐标表示三点共线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2003-河南卷-21 解-向量定向动点轨迹
• 2003-大纲文-22 解-矩形动点轨迹与椭圆
• 2003-北京文-18 解-椭圆方程准线与轨迹