2002-上海卷理-02 填-平面向量的数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的代数运算。核心意图在于测试学生利用向量数量积的分配律进行代数式展开，并准确应用向量模长与夹角计算数量积的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，且 $|\vec{a}|=2$， $|\vec{b}|=5$，则 $(2\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{a}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：运用平面向量数量积的分配律，将待求代数式 $(2\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{a}$ 展开为 $2{\vec{a}}^2-\vec{b}\cdot \vec{a}$。
2. 第二步逻辑：利用恒等式 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$ 和数量积的定义公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，将已知的模长与夹角代入展开式中完成精简计算。

✅【答案】

Success

$13$

✍【详细解析】

Abstract

根据平面向量数量积的分配律，将待求式展开： $(2\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{a}=2{\vec{a}}^2-\vec{b}\cdot \vec{a}$

根据向量数量积的性质与定义：

• ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$
• $\vec{b}\cdot \vec{a}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩$

代入已知数据 $|\vec{a}|=2$、 $|\vec{b}|=5$ 以及夹角 $\theta =120^{\circ }$： ${\vec{a}}^2=2^2=4$ $\vec{b}\cdot \vec{a}=2\times 5\times \cos 120^{\circ }$

由特殊三角函数值可知 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$，代入计算数量积： $\vec{b}\cdot \vec{a}=10\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-5$

将上述两个中间结果带回展开式： $2{\vec{a}}^2-\vec{b}\cdot \vec{a}=2\times 4-(-5)=8+5=13$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积基本定义式，向量代数运算律（分配律）。
2. 核心方法：代数展开法。
3. 避坑指南：

• 负号与符号嵌套陷阱：在计算 $2{\vec{a}}^2-\vec{b}\cdot \vec{a}$ 时，由于 $\vec{b}\cdot \vec{a}$ 的计算结果本身带有负号（$-5$），在作差时极易因粗心忽略双重负号变正号的规律，错误地计算为 $8-5=3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第二题，考查内容完全基于教材平面向量基本运算的直接演练，属于基础送分题。
2. 结论推广： 对于所有涉及两个已知模长与夹角向量的复合多项式乘积 $(m\vec{a}+n\vec{b})\cdot \vec{a}$，其计算结果均可一元化表示为关于基底的代数方程： $m|\vec{a}{|}^2+n|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 通过此结构可直接跳过展开步骤进行快速复核。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 2008-湖北文-01 单-向量数量积坐标运算