2002-上海卷文-17 解-直三棱柱线面角

本题导读

本题考查直三棱柱中的线面角，核心在于建立空间直角坐标系，由线线垂直确定点的位置，再求直线与平面所成角。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 如图，在直三棱柱 $ABO-A^{\prime }{B}^{\prime }{O}^{\prime }$ 中，$O{O}^{\prime }=4$，$OA=4$，$OB=3$，$\angle AOB=90^{\circ }$，$D$ 是线段 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 的中点，$P$ 是侧棱 $B{B}^{\prime }$ 上的一点，若 $OP\perp BD$，求 $OP$ 与底面 $AOB$ 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $O$ 为原点建系，设 $P(0,3,t)$。
2. 由 $OP\perp BD$ 得 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ 求 $t$。
3. 线面角正切 $\tan \theta =\frac{t}{3}$。

✅【答案】

Success

$\arctan \frac{3}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系，$OA$ 为 $x$ 轴，$OB$ 为 $y$ 轴，$O{O}^{\prime }$ 为 $z$ 轴，则 $A(4,0,0)$，$B(0,3,0)$，$A^{\prime }(4,0,4)$，$B^{\prime }(0,3,4)$，$D\left(2,\frac{3}{2},4\right)$．设 $P(0,3,t)$，则 $\overrightarrow{OP}=(0,3,t)$，$\overrightarrow{BD}=D-B=\left(2,-\frac{3}{2},4\right)$．由 $OP\perp BD$ 得 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BD}=0$，即 $0\times 2+3\times \left(-\frac{3}{2}\right)+4t=0$，解得 $t=\frac{9}{8}$．因为 $B{B}^{\prime }\perp$ 平面 $AOB$，$OP$ 在底面的射影为 $OB$，故 $OP$ 与底面 $AOB$ 所成角 $\theta$ 满足 $\tan \theta =\frac{t}{OB}=\frac{\frac{9}{8}}{3}=\frac{3}{8}$，故 $\theta =\arctan \frac{3}{8}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱线面角

核心方法：建系 $O(0,0,0),A(4,0,0),B(0,3,0)$，$P(0,3,t)$，$D(2,\frac{3}{2},4)$；$OP\perp BD$ 得 $4t-\frac{9}{2}=0$，$t=\frac{9}{8}$，线面角 $\tan \theta =\frac{t}{3}=\frac{3}{8}$，$\theta =\arctan \frac{3}{8}$

避坑指南：直三棱柱建系，$OP\cdot \overrightarrow{BD}=0$ 求 $P$ 高，线面角用高度比射影

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直三棱柱线面角

结论推广：一般地，建系用向量垂直求参数，线面角用高度比射影

方法推广：设 $P$ 的高 $t$，由垂直方程求 $t$，再求 $\tan$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2003-河南卷-19 解-直三棱柱线面角与距离
• 2004-全国卷II文-20 解-直三棱柱垂直与二面角